Seja f: R R uma função duas vezes derivável tal que f^prime prime(x) é contínua. Sabendo que f(0)=2, f^prime(0)=0, f^prime prime(0)=-1, f(1)=2, f^prime(1)=1 e f^prime prime(1)=-1, calcule:
b. integral0^1 f^prime prime(x) d x.

Passo 1

Então, temos uma função que é duas vezes derivável e com a segunda derivada contínua. Nos deram alguns valores de , e nos pontos 0 e 1. A gente precisa calcular a integral da segunda derivada de no intervalo de 0 a 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que se você tem uma função contínua integrala^b f''(x) , dx = f'(b) - f'(a) e integra essa função de para , o resultado é a diferença entre os valores da primitiva de nos pontos e . Matematicamente, isso é:
Aqui, nossa função é contínua, então podemos aplicar o teorema diretamente.

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso caso, temos:
integral0^1 f''(x) , dx = f'(1) - f'(0)
Segundo os dados do exercício, e .

Passo 4

Agora é só substituir esses valores na equação:
integral0^1 f''(x) , dx = 1 - 0 = 1

Resposta

A integral vale 1.

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