8 integralC(nabla f) cdot d barR, ondef f(x, y)=x^2-2 x y, e C é o caminho de (0,0) até (2,1) de (2,1) até (2,3) e de (2,3) até (1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde . O caminho é dividido em três partes: de até , de até e de até .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e gradientes. Vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) de uma função partial fpartial x = 2x - 2y é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de partial fpartial y = -2x . Para a nossa função boxed nabla f = (2x - 2y, -2x) , vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 3

Agora, vamos entender a integral de linha integralC nabla f cdot dbarR = f(Ponto Final) - f(Ponto Inicial) . Quando temos uma integral de um gradiente de função sobre um caminho , podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, ao invés de calcular a integral ao longo de cada trecho do caminho, podemos simplesmente avaliar a função nos pontos final e inicial do caminho completo.

Passo 4

Vamos identificar os pontos inicial e final do caminho integralC nabla f cdot dbarR = f(1,3) - f(0,0) . O caminho começa em e termina em , passando por e . Aplicando o Teorema Fundamental:
Vamos calcular esses valores.

Passo 5

Calculando f(1,3) = (1)^2 - 2 cdot 1 cdot 3 = 1 - 6 = -5 :
f(0,0) = (0)^2 - 2 cdot 0 cdot 0 = 0 - 0 = 0
Calculando integralC nabla f cdot dbarR = -5 - 0 = -5 :
Portanto,

Passo 6

Agora, lembrando que a integral original tinha um fator de 8, multiplicamos o resultado por 8:
8 integralC nabla f cdot dbarR = 8 times (-5) = -40

Resposta

O valor da integral é .

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