, ondef
, e C é o caminho de
até
de (2,1) até
e de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
. O caminho
é dividido em três partes: de
até
, de
até
e de
até
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e gradientes. Vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente
de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de
. Para a nossa função
, vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 3
Agora, vamos entender a integral de linha
. Quando temos uma integral de um gradiente de função sobre um caminho
, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, ao invés de calcular a integral ao longo de cada trecho do caminho, podemos simplesmente avaliar a função
nos pontos final e inicial do caminho completo.
Passo 4
Vamos identificar os pontos inicial e final do caminho
. O caminho começa em
e termina em
, passando por
e
. Aplicando o Teorema Fundamental:
Vamos calcular esses valores.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Portanto,
Passo 6
Agora, lembrando que a integral original tinha um fator de 8, multiplicamos o resultado por 8:
Resposta
O valor da integral é
.