, onde
e
é a interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a interseção das superfícies
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é onde as duas superfícies se encontram. A primeira equação é um plano:
. A segunda é uma esfera:
. Podemos simplificar a segunda equação para facilitar.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação da esfera:
Completando o quadrado para
e
:
Então, a esfera tem centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, sabemos que a curva
está no plano
e na esfera centrada em
com raio
. Vamos parametrizar
. No plano
, podemos expressar
. Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve uma elipse no plano
.
Passo 5
Vamos parametrizar essa elipse. Podemos usar um parâmetro
para representar o ângulo em torno do centro. Assim:
Então:
onde
varia de
a
.
Passo 6
Agora que temos a parametrização da curva
, vamos calcular
, o elemento de arco. Primeiro, encontramos as derivadas das componentes em relação a
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos substituir
usando a parametrização:
Então, a integral fica: