integralC f d s, onde f(x, y)=x+y e C é a interseção das superfícies x+y=2 e x^2+y^2+z^2=2(x+y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção das superfícies e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é onde as duas superfícies se encontram. A primeira equação é um plano: . A segunda é uma esfera: . Podemos simplificar a segunda equação para facilitar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y = 0
Completando o quadrado para (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 = 0 (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 0 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 2 e :
Então, a esfera tem centro em e raio .

Passo 4

Agora, sabemos que a curva (x - 1)^2 + (2 - x - 1)^2 + z^2 = 2 (x - 1)^2 + (1 - x)^2 + z^2 = 2 2(x - 1)^2 + z^2 = 2 (x - 1)^2 + z^22 = 1 está no plano e na esfera centrada em com raio . Vamos parametrizar . No plano , podemos expressar . Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve uma elipse no plano .

Passo 5

Vamos parametrizar essa elipse. Podemos usar um parâmetro x - 1 = cos theta z = raiz2 sin theta para representar o ângulo em torno do centro. Assim:
x = 1 + cos theta y = 2 - x = 1 - cos theta z = raiz2 sin theta
Então:
onde varia de a .

Passo 6

Agora que temos a parametrização da curva dxdtheta = -sin theta dydtheta = sin theta dzdtheta = raiz2 cos theta , vamos calcular ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta = raiz(-sin theta)^2 + (sin theta)^2 + (raiz2 cos theta)^2 , dtheta = raizsin^2 theta + sin^2 theta + 2 cos^2 theta , dtheta = raiz2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta , dtheta = raiz2 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = raiz2 , dtheta , o elemento de arco. Primeiro, encontramos as derivadas das componentes em relação a :
Então:

Passo 7

Agora, vamos substituir f(x, y) = x + y = (1 + cos theta) + (1 - cos theta) = 2 usando a parametrização:
integral0^2pi f(x, y) , ds = integral0^2pi 2 cdot raiz2 , dtheta = 2 raiz2 integral0^2pi dtheta = 2 raiz2 cdot 2pi = 4 raiz2 pi
Então, a integral fica:

Resposta

integralC f , ds = 4 raiz2 pi

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