Seja definida sobre o arco de parábola parametrizada como . Calcular .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função definida sobre uma curva , que é o arco de uma parábola parametrizada por para . A parada é calcular a integral de linha . Para isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo envolve integrar a função ao longo da curva, considerando o comprimento do arco. Como a curva está parametrizada por , vamos usar essa parametrização para expressar tudo em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Se temos uma parametrização , o diferencial de arco é dado por:
Isso porque .

Passo 4

Com tudo isso, podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então ou . A integral fica:
Agora, aplicando os limites de a :

Resposta

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Seja .
Calcule , com tendo ponto inicial e ponto final .
Sejam e o caminho parametrizado por . Calcule a integral de linha de sobre o dado caminho.
.
.