Seja
definida sobre o arco de parábola
parametrizada como
. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função
definida sobre uma curva
, que é o arco de uma parábola parametrizada por
para
. A parada é calcular a integral de linha
. Para isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo
envolve integrar a função ao longo da curva, considerando o comprimento do arco. Como a curva
está parametrizada por
, vamos usar essa parametrização para expressar tudo em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco
. Se temos uma parametrização
, o diferencial de arco é dado por:
Isso porque
.
Passo 4
Com tudo isso, podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
ou
. A integral fica:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Resposta
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Seja
.
Calcule , com
tendo ponto inicial
e ponto final
.
Calcule
Sejam
e o caminho parametrizado por
. Calcule a integral de linha de
sobre o dado caminho.