Seja f(x, y)=x definida sobre o arco de parábola C parametrizada como r(x)=(x, x^2), 0 <= x <= 1. Calcular integralC x d s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função definida sobre uma curva , que é o arco de uma parábola parametrizada por para . A parada é calcular a integral de linha . Para isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo envolve integrar a função ao longo da curva, considerando o comprimento do arco. Como a curva está parametrizada por , vamos usar essa parametrização para expressar tudo em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco ds = raiz(dxdx)^2 + (dydx)^2 , dx = raiz1 + (2x)^2 , dx = raiz1 + 4x^2 , dx . Se temos uma parametrização , o diferencial de arco é dado por:
Isso porque .

Passo 4

Com tudo isso, podemos montar a integral:
integralC x , ds = integral0^1 x raiz1 + 4x^2 , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja integral x raiz1 + 4x^2 , dx = 18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 (1 + 4x^2)^3/2 + C , então [ 112 (1 + 4x^2)^3/2 ]0^1 = 112 (1 + 4)^3/2 - 112 (1)^3/2 = 112 cdot 5^3/2 - 112 = 5raiz5 - 112 ou . A integral fica:
Agora, aplicando os limites de a :

Resposta

integralC x , ds = 5raiz5 - 112

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