integralC x^2 y d x-x^3 d y(x^2+y^2)^2, C é a fronteira da região (x, y) in R^2:|x| <= 1,|y| <= 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva C, que é a fronteira de uma região quadrada no plano xy. O conteúdo envolve Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha e Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender o que são integrais de linha, como aplicar o Teorema de Green e lidar com possíveis singularidades na função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, a integral é dada por:
integralC x^2 y , dx - x^3 , dy(x^2+y^2)^2
Aqui, é a fronteira da região , que é um quadrado centrado na origem com lados de comprimento 2, orientado no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
No nosso caso, temos:
M = x^2 y(x^2+y^2)^2, N = -x^3(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x ( -x^3(x^2+y^2)^2 )
partial Mpartial y = partialpartial y ( x^2 y(x^2+y^2)^2 )
Fazendo essas derivadas, temos:
partial Npartial x = -3x^2 (x^2+y^2)^2 - x^3 cdot 2(x^2+y^2)(2x)(x^2+y^2)^4 = (simplificando)
partial Mpartial y = x^2 (x^2+y^2)^2 - x^2 y cdot 2(x^2+y^2)(2y)(x^2+y^2)^4 = (simplificando)
Após simplificar ambos, percebemos que:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 0

Passo 5

Com isso, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Resposta

A integral vale zero.

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