é a fronteira da região orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva C, que é a fronteira de uma região quadrada no plano xy. O conteúdo envolve Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha e Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender o que são integrais de linha, como aplicar o Teorema de Green e lidar com possíveis singularidades na função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, a integral é dada por: Aqui, é a fronteira da região , que é um quadrado centrado na origem com lados de comprimento 2, orientado no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos aplicar o **Teorema de Green**, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que: No nosso caso, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias: Fazendo essas derivadas, temos: Após simplificar ambos, percebemos que:

Passo 5

Com isso, aplicando o Teorema de Green, temos:

Resposta

A integral vale zero.

Exercícios relacionados

Qual dos alternativas abaixo representa uma possível equação cartesiana associada à equação polar ? (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . (F) Nenhuma das anteriores.
Encontre os limites.
Sabendo que a reta possui como vetor diretor e que o ponto pertence a , então uma possível equação para a reta é (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . (F) outro valor.
Sobre as retas e , podemos afirmar que (A) são concorrentes com ponto de interseção em que . (B) são reversas. (C) são concorrentes com ponto de interseção em que . (D) são paralelas e não coincidentes. (E) são coincidentes. (F) nenhuma das anteriores é verdadeira.