é a fronteira da região orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva C, que é a fronteira de uma região quadrada no plano xy. O conteúdo envolve Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha e Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender o que são integrais de linha, como aplicar o Teorema de Green e lidar com possíveis singularidades na função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, a integral é dada por:
Aqui, é a fronteira da região , que é um quadrado centrado na origem com lados de comprimento 2, orientado no sentido anti-horário.
Passo 3
Vamos aplicar o **Teorema de Green**, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Fazendo essas derivadas, temos:
Após simplificar ambos, percebemos que: