ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem produtos de funções, e para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que ajuda quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que facilita quando derivamos, e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Passo 3
No nosso caso, vamos deixar:
A gente integrou
para encontrar
.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a
:
Primeiro, avaliamos em
:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Agora, avaliamos em 0:
Resposta
Subtraindo os valores:
Então, a integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: ;
tal que
.
Res.:
Calcule a derivada das seguintes funções:
(1,0 ponto)