(1,0 ponto) integral0^12 theta sen(3 pi theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem produtos de funções, e para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que ajuda quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que facilita quando derivamos, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

No nosso caso, vamos deixar:
u = theta Rightarrow du = dtheta
dv = sin(3pi theta) , dtheta Rightarrow v = -13pi cos(3pi theta)
A gente integrou para encontrar .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral theta sin(3pi theta) , dtheta = theta (-13pi cos(3pi theta)) - integral (-13pi cos(3pi theta)) dtheta
Simplificando:
= -theta3pi cos(3pi theta) + 13pi integral cos(3pi theta) , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral cos(3pi theta) , dtheta = 13pi sin(3pi theta) + C
Portanto, substituindo de volta:
-theta3pi cos(3pi theta) + 13pi (13pi sin(3pi theta)) + C
= -theta3pi cos(3pi theta) + 19pi^2 sin(3pi theta) + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ -theta3pi cos(3pi theta) + 19pi^2 sin(3pi theta) ]0^12 :
-123pi cos(3pi cdot 12) + 19pi^2 sin(3pi cdot 12)
Primeiro, avaliamos em -16pi cos(3pi2) + 19pi^2 sin(3pi2) :
cos(3pi2) = 0 e sin(3pi2) = -1
Simplificando:
-16pi cdot 0 + 19pi^2 cdot (-1) = -19pi^2
Sabemos que:
-03pi cos(0) + 19pi^2 sin(0) = 0 + 0 = 0
Então:
Agora, avaliamos em 0:

Resposta

Subtraindo os valores:
-19pi^2 - 0 = -19pi^2
Então, a integral é igual a .

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{1+\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x dy/dx - 1/(1 + dy/dx);
y = C * x - 1/(C + 1) tal que x = (1 + p)^(-2), y = (2*p + 1)(1 + p)^(-2).
integralC x y z d s, C é o segmento retilíneo de (0,0,0) a(1,2,3).
Calcule a derivada das seguintes funções:
1/(4x+5)
(1,0 ponto) integral0^1 r ln (r) d r