Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais que podem ser resolvidas usando substituições para tornar a equação homogênea. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para achar
:
Notamos que a equação não é homogênea devido aos termos constantes (+1 e +3). Para simplificar, vamos fazer uma substituição que elimine esses termos constantes.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Isolando
:
Agora, temos uma equação separável que podemos integrar dos dois lados.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma divisão algébrica:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Reorganizando:
Onde
ainda é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.