Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
(x + 2y + 1) dx - (2x + 4y + 3) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais que podem ser resolvidas usando substituições para tornar a equação homogênea. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para achar :
Notamos que a equação não é homogênea devido aos termos constantes (+1 e +3). Para simplificar, vamos fazer uma substituição que elimine esses termos constantes.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Isolando :
Agora, temos uma equação separável que podemos integrar dos dois lados.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma divisão algébrica:
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Reorganizando:
Onde ainda é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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