Integrar as equações diferenciais homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial homogênea que precisa integrar:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas, um tipo específico que a gente pode resolver usando substituições que simplificam a relação entre as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é de fato homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos e como variáveis de mesma dimensão.
Olhemos para cada termo:
  • : Aqui, pode ser reescrito como . O grau é .
  • : O grau é 1.
  • : O grau é 1.
Todos os termos têm grau 1, então a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, sobrando:

Passo 4

Agora, vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando para separar as variáveis:
Agora, podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante para uma nova constante , já que é arbitrária:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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