Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial homogênea que precisa integrar:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas, um tipo específico que a gente pode resolver usando substituições que simplificam a relação entre as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade e aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é de fato homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
como variáveis de mesma dimensão.
Olhemos para cada termo:
-
: Aqui, pode ser reescrito como . O grau é . -
: O grau é 1. -
: O grau é 1.
Todos os termos têm grau 1, então a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição
para simplificar.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, sobrando:
Passo 4
Agora, vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Rearranjando para separar as variáveis:
Agora, podemos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
para uma nova constante
, já que
é arbitrária:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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