Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, galera! O exercício pede pra gente integrar uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é assim:
Isso significa que a gente vai separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado da equação separadamente. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Para isso, vamos dividir os dois lados da equação por
:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Essa forma da equação
já nos permite separar as variáveis
e
. Queremos reescrever essa equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro.
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que a integral de um lado será em termos de
e do outro em termos de
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral à esquerda:
Agora, a integral à direita:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Para simplificar, podemos usar propriedades dos logaritmos. A soma de logaritmos iguala o logaritmo do produto:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
:
Passo 8
Por fim, resolvemos para
em termos de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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