Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, galera! O exercício pede pra gente integrar uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é assim:
Isso significa que a gente vai separar as variáveis e para conseguir integrar cada lado da equação separadamente. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. Para isso, vamos dividir os dois lados da equação por :
Agora, isolamos :

Passo 3

Essa forma da equação já nos permite separar as variáveis e . Queremos reescrever essa equação de modo que todos os termos com fiquem de um lado e todos os termos com fiquem do outro.
Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :

Passo 4

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que a integral de um lado será em termos de e do outro em termos de :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral à esquerda:
Agora, a integral à direita:

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Para simplificar, podemos usar propriedades dos logaritmos. A soma de logaritmos iguala o logaritmo do produto:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Como é apenas uma constante, podemos chamar de :

Passo 8

Por fim, resolvemos para em termos de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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