Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é homogênea, ou seja, os termos têm o mesmo grau quando a gente verifica as potências de e . A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição que transforma a equação homogênea em uma que a gente consegue resolver mais facilmente, geralmente usando .
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação para isolar os termos com e . Vamos reescrever a equação:
Dividindo tudo por , ficamos com:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição . Isso significa que e, derivando em relação a , temos:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos subtrair de ambos os lados para simplificar:
Fatorando no lado direito:
Agora, vamos separar as variáveis e :
Passo 5
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, o lado direito:
Agora, o lado esquerdo precisa de uma substituição. Vamos multiplicar numerador e denominador por para racionalizar:
Então, a integral fica:
Que é:
A primeira integral é e a segunda é . Mas para simplificar, vamos considerar apenas: