Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é homogênea, ou seja, os termos têm o mesmo grau quando a gente verifica as potências de
e
. A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição que transforma a equação homogênea em uma que a gente consegue resolver mais facilmente, geralmente usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação para isolar os termos com
e
. Vamos reescrever a equação:
Dividindo tudo por
, ficamos com:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Isso significa que
e, derivando em relação a
, temos:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos subtrair
de ambos os lados para simplificar:
Fatorando
no lado direito:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, o lado direito:
Agora, o lado esquerdo precisa de uma substituição. Vamos multiplicar numerador e denominador por
para racionalizar:
Então, a integral fica:
Que é:
A primeira integral é
e a segunda é
. Mas para simplificar, vamos considerar apenas:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: