Integrar as equações diferenciais homogêneas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea:
Para resolver essa equação, vamos utilizar a técnica de substituição para equações homogêneas. Precisaremos usar a substituição .

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo todos os termos por :
Isolando , temos:

Passo 3

Agora, fazemos a substituição . Isso implica que . Vamos diferenciar ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial original, obtemos:
Podemos simplificar cancelando :

Passo 5

Isolando :
Simplificando a expressão à direita:
Portanto:

Passo 6

Vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação:
Podemos fatorar o denominador:
Então a equação fica:
Simplificando:

Passo 7

Vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 8

Substituindo e na integral:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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