Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea:
Para resolver essa equação, vamos utilizar a técnica de substituição para equações homogêneas. Precisaremos usar a substituição
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo todos os termos por
:
Isolando
, temos:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Isso implica que
. Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial original, obtemos:
Podemos simplificar cancelando
:
Passo 5
Isolando
:
Simplificando a expressão à direita:
Portanto:
Passo 6
Vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação:
Podemos fatorar o denominador:
Então a equação fica:
Simplificando:
Passo 7
Vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
De
, temos
.
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
e
na integral:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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