Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo de variáveis separáveis. O enunciado é . Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar os termos que envolvem e :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e de cada lado da equação. Dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Lembrando que e :

Passo 5

Igualando as integrais e combinando as constantes e em uma única constante , temos:

Passo 6

Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Para deixar a resposta mais limpa, podemos reescrever a constante como , onde é uma nova constante:

Passo 8

Finalmente, elevando ambos os lados como potência de para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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