Integrar as equações diferenciais de variáveis separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é de variáveis separáveis. O enunciado pede para integrar a expressão . Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais de variáveis separáveis, que nos permite separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos mover um dos termos para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar e :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Lembre-se que a integral de e a integral de são necessárias.
A integral do lado esquerdo:
Sabemos que:
A integral do lado direito:

Passo 4

Igualando as integrais e combinando as constantes de integração, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, de forma simplificada,
onde é uma constante arbitrária.

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