Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear. Uma equação diferencial linear tem a forma
. No nosso caso, temos:
Então, identificamos que
e
. Para resolver, vamos precisar encontrar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
para tornar a esquerda da equação uma derivada de um produto:
Simplificando, lembrando que
:
Isso se reconhece como a derivada de
, então podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
O lado esquerdo simplifica para
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes, que é dado por:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando:
Passo 6
Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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