Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear. Uma equação diferencial linear tem a forma . No nosso caso, temos:
Então, identificamos que e . Para resolver, vamos precisar encontrar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para tornar a esquerda da equação uma derivada de um produto:
Simplificando, lembrando que :
Isso se reconhece como a derivada de , então podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
O lado esquerdo simplifica para , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes, que é dado por:
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando:

Passo 6

Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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