Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar a seguinte equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante ou tentar tornar a equação exata. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo todos os termos por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Observamos que essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo . Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão de :
Simplificando:
Como , temos:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Vamos encontrar o fator integrante. O fator é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso pode ser escrito como:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja , então , o que nos dá:
Portanto:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Resolvendo para :
Tomando a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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