Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar a seguinte equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante ou tentar tornar a equação exata. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Dividindo todos os termos por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Observamos que essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo
. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Vamos encontrar o fator integrante. O fator é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso pode ser escrito como:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
, o que nos dá:
Portanto:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resolvendo para
:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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