Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais exatas. Pra resolver, vamos precisar entender se essa equação é exata ou se a gente consegue torná-la exata usando um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação. A equação está na forma:
Então, aqui temos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :

Passo 4

Viu só? As duas derivadas parciais são iguais:
Isso significa que a equação diferencial é exata! Então, podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que a integração foi em relação a .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Então, temos:

Passo 7

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, juntando tudo, a função potencial é:
Como a equação é exata, a solução geral é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.