Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais exatas. Pra resolver, vamos precisar entender se essa equação é exata ou se a gente consegue torná-la exata usando um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação. A equação está na forma:
Então, aqui temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 4
Viu só? As duas derivadas parciais são iguais:
Isso significa que a equação diferencial é exata! Então, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Então, temos:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, juntando tudo, a função potencial
é:
Como a equação é exata, a solução geral é
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
b) Determine