Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Precisamos identificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para isso, vamos organizar os termos e verificar as condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 4
Comparando
e
:
Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou
para tornar a equação exata.
Passo 5
Assumimos que o fator integrante
depende apenas de
. Então, multiplicamos toda a equação por
:
Queremos que a nova equação seja exata, ou seja:
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Simplificamos a equação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso resulta em uma equação diferencial para
, cuja solução nos dará o fator integrante.
Passo 8
Após resolver a equação diferencial para
, encontramos:
Onde
é a função que aparece após reorganizar a equação.
Passo 9
Com o fator integrante
encontrado, multiplicamos a equação original por ele e integramos para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Integrar as seguintes equações diferenciais: