Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Precisamos identificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para isso, vamos organizar os termos e verificar as condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Comparando e :
Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou para tornar a equação exata.

Passo 5

Assumimos que o fator integrante depende apenas de . Então, multiplicamos toda a equação por :
Queremos que a nova equação seja exata, ou seja:

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias:
Igualando as duas expressões:

Passo 7

Simplificamos a equação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Isso resulta em uma equação diferencial para , cuja solução nos dará o fator integrante.

Passo 8

Após resolver a equação diferencial para , encontramos:
Onde é a função que aparece após reorganizar a equação.

Passo 9

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos a equação original por ele e integramos para encontrar a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

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