Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisaremos verificar se a equação é exata e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata antes de integrarmos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e . Seja e . Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculamos :

Passo 4

Calculamos :

Passo 5

Comparamos as derivadas parciais:
Como elas não são iguais, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 6

Assumimos que o fator integrante depende apenas de ou de . Tentamos um fator que dependa de . O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Como a expressão resultante não depende apenas de , tentamos um fator que dependa de .

Passo 7

Assumindo que o fator integrante depende apenas de , temos:
Substituindo os valores:
Novamente, a expressão depende de e , o que sugere que o fator integrante não é facilmente encontrável dessa forma. Portanto, consideramos outra abordagem.

Passo 8

Observamos que a equação pode ser reorganizada. Dividimos ambos os lados por para obter:
Rearranjando:
Tentamos uma substituição para simplificar a equação. Seja , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Calculamos a derivada de :
Substituindo na equação diferencial:
Escolhemos para simplificar:
Agora, a equação se torna linear em termos de .

Passo 10

Expressamos a equação em termos de :
Simplificando:
çãá
Observamos que a substituição não simplificou adequadamente a equação. Portanto, reconsideramos a abordagem inicial.

Passo 11

Retornamos à tentativa de tornar a equação exata. Observando que a diferença entre as derivadas parciais é 6, tentamos multiplicar a equação original por , mas isso é complexo. Em vez disso, reconsideramos uma substituição adequada ou métodos de equação linear.

Passo 12

Finalmente, percebemos que a equação pode ser integrada diretamente após rearranjar:
Integrando em relação a :
Derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Como há uma inconsistência, a equação não é exata e requer métodos mais avançados.

Resposta

Após várias tentativas, a equação diferencial fornecida não é exata e a busca por um fator integrante não simplifica a resolução de forma direta. Portanto, métodos alternativos ou abordagens mais avançadas são necessários para encontrar a solução geral.

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