Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisaremos verificar se a equação é exata e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata antes de integrarmos.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
. Seja
e
. Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculamos
:
Passo 4
Calculamos
:
Passo 5
Comparamos as derivadas parciais:
Como elas não são iguais, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 6
Assumimos que o fator integrante depende apenas de
ou de
. Tentamos um fator que dependa de
. O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Como a expressão resultante não depende apenas de
, tentamos um fator que dependa de
.
Passo 7
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, temos:
Substituindo os valores:
Novamente, a expressão depende de
e
, o que sugere que o fator integrante não é facilmente encontrável dessa forma. Portanto, consideramos outra abordagem.
Passo 8
Observamos que a equação pode ser reorganizada. Dividimos ambos os lados por
para obter:
Rearranjando:
Tentamos uma substituição para simplificar a equação. Seja
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 9
Calculamos a derivada de
:
Substituindo na equação diferencial:
Escolhemos
para simplificar:
Agora, a equação se torna linear em termos de
.
Passo 10
Expressamos a equação em termos de
:
Simplificando:
Observamos que a substituição não simplificou adequadamente a equação. Portanto, reconsideramos a abordagem inicial.
Passo 11
Retornamos à tentativa de tornar a equação exata. Observando que a diferença entre as derivadas parciais é 6, tentamos multiplicar a equação original por
, mas isso é complexo. Em vez disso, reconsideramos uma substituição adequada ou métodos de equação linear.
Passo 12
Finalmente, percebemos que a equação pode ser integrada diretamente após rearranjar:
Integrando
em relação a
:
Derivamos em relação a
e igualamos a
:
Então:
Como há uma inconsistência, a equação não é exata e requer métodos mais avançados.
Resposta
Após várias tentativas, a equação diferencial fornecida não é exata e a busca por um fator integrante não simplifica a resolução de forma direta. Portanto, métodos alternativos ou abordagens mais avançadas são necessários para encontrar a solução geral.
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