Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e :
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de . Suponhamos que o fator integrante seja .

Passo 5

O fator integrante satisfaz a seguinte condição:
Simplificando:
Este cálculo indica que encontrar diretamente pode ser complexo. Portanto, consideramos outra abordagem.

Passo 6

Alternativamente, observamos se a equação pode ser homogênea ou se pode ser feita uma substituição para torná-la separável. Notamos que a presença de sugere uma substituição envolvendo .

Passo 7

Vamos definir , então . Reescrevemos a equação em termos de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, a equação está na forma linear:
Dividimos por :
Ainda, a equação pode ser reorganizada para facilitar a integração.

Resposta

Após realizar as substituições e cálculos necessários, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
Prove, usando a definição, que: