Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Suponhamos que o fator integrante seja
.
Passo 5
O fator integrante
satisfaz a seguinte condição:
Simplificando:
Este cálculo indica que encontrar
diretamente pode ser complexo. Portanto, consideramos outra abordagem.
Passo 6
Alternativamente, observamos se a equação pode ser homogênea ou se pode ser feita uma substituição para torná-la separável. Notamos que a presença de
sugere uma substituição envolvendo
.
Passo 7
Vamos definir
, então
. Reescrevemos a equação em termos de
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a equação está na forma linear:
Dividimos por
:
Ainda, a equação pode ser reorganizada para facilitar a integração.
Resposta
Após realizar as substituições e cálculos necessários, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Integrar as seguintes equações diferenciais:
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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
b) Determine
Prove, usando a definição, que: