Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser integrada:
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Uma estratégia comum é tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . Vamos fazer uma substituição:
A partir da equação original, podemos isolar :
Então:

Passo 5

Agora, temos uma equação separável para :
Vamos integrar os dois lados:

Passo 6

Agora, substituímos de volta por :
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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De quantas formas é possível ir e passando por .
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