Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser integrada:
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Uma estratégia comum é tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. Vamos fazer uma substituição:
A partir da equação original, podemos isolar
:
Então:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável para
:
Vamos integrar os dois lados:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta por
:
Podemos simplificar a constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Integrar as seguintes equações diferenciais:
De quantas formas é possível ir
e
passando por
.
Integrar as seguintes equações diferenciais:
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