Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. c) ( ) O polinômio p(x) = x^n - 1 em Z[x] é múltiplo de g(x) = x + 1 para r ∈ N, n ≥ 1.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para dizer se o polinômio é múltiplo de para todo número natural . Estamos trabalhando com álgebra de polinômios e precisamos entender quando um polinômio é múltiplo de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser múltiplo de outro. Se é múltiplo de , isso quer dizer que existe um polinômio tal que . Em termos simples, divide sem deixar resto.

Passo 3

Para verificar se divide , podemos usar o Teorema do Resto. Esse teorema nos diz que o resto da divisão de por é igual a (porque a raiz de é ).

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, dependendo do valor de , vamos ver o que acontece:
  • Se é par: , então .
  • Se é ímpar: , então .

Passo 5

De acordo com o Teorema do Resto, se , então divide . Observamos que isso acontece somente quando é par. Porém, a questão afirma que isso é válido para todos , o que não é o caso quando é ímpar.

Resposta

Falso. O polinômio é múltiplo de apenas quando é par, não para todos os .

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