Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: integral cossec(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e técnicas de integração que envolvem funções como cotangente e cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cosecante de uma forma que facilite a integração. Sabemos que integral csc(t) , dt = integral csc(t) cdot csc(t) + cot(t)csc(t) + cot(t) , dt , mas isso não ajuda muito. Então, vamos multiplicar e dividir a função por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
csc(t) cdot (csc(t) + cot(t)) = csc^2(t) + csc(t)cot(t)
Então, a integral fica:
integral csc^2(t) + csc(t)cot(t)csc(t) + cot(t) , dt

Passo 4

Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
u = csc(t) + cot(t)
du = (-csc(t)cot(t) - csc^2(t)) , dt = -(csc^2(t) + csc(t)cot(t)) , dt
Portanto, podemos reescrever a integral como:
integral -duu = -integral duu

Passo 5

Integrando, temos:
-ln|u| + C = -ln|csc(t) + cot(t)| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de integral csc(t) , dt = -ln|csc(t) + cot(t)| + C em relação a é:

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