Integre utilizando a técnica de integral por partes. integral e^-2 x sen x d x

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para integrar a função e^-2x cdot sin x usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma forma de resolver integrais que envolve dividir a função em duas partes, escolher qual vai ser u e qual vai ser dv, e então aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa função vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, a gente escolhe como u a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos escolher:
u = sin x e dv = e^-2x dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v. Para isso, derivamos u e integramos dv:
du = cos x , dx
v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x
Aqui, a gente integrou e^-2x em relação a x, o que resulta em -12 e^-2x.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^-2x sin x , dx = sin x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cos x , dx
Simplificando:
= -12 e^-2x sin x + 12 integral e^-2x cos x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral integral e^-2x cos x , dx usando novamente integração por partes. Escolhemos:
u = cos x e dv = e^-2x dx
Calculando du e v:
du = -sin x , dx
v = -12 e^-2x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-2x cos x , dx = cos x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x)(-sin x) , dx
Simplificando:
= -12 e^-2x cos x - 12 integral e^-2x sin x , dx
Agora, substituímos de volta na expressão anterior:
integral e^-2x sin x , dx = -12 e^-2x sin x + 12 ( -12 e^-2x cos x - 12 integral e^-2x sin x , dx )
Vamos chamar nossa integral original de I:
I = -12 e^-2x sin x - 14 e^-2x cos x - 14 I
Agora, isolamos I:
I + 14 I = -12 e^-2x sin x - 14 e^-2x cos x
54 I = -12 e^-2x sin x - 14 e^-2x cos x
Multiplicando ambos os lados por 45:
I = -25 e^-2x sin x - 15 e^-2x cos x + C

Resposta

A integral de e^-2x cdot sin x é:
integral e^-2x sin x , dx = -25 e^-2x sin x - 15 e^-2x cos x + C
onde C é a constante de integração.

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