Integre utilizando a técnica de integral por partes.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para integrar a função
usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma forma de resolver integrais que envolve dividir a função em duas partes, escolher qual vai ser
u
e qual vai ser dv
, e então aplicar a fórmula da integração por partes.Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa função vai ser
u
e qual vai ser dv
. Geralmente, a gente escolhe como u
a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos escolher:Passo 3
Agora, vamos calcular
du
e v
. Para isso, derivamos u
e integramos dv
:Aqui, a gente integrou
em relação a
, o que resulta em
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a nova integral
usando novamente integração por partes. Escolhemos:
Calculando
du
e v
:Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Agora, substituímos de volta na expressão anterior:
Vamos chamar nossa integral original de
:
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.