A interação gravitacional é descrita pela força dada por
onde
e
são as massas dos corpos,
a distância entre seus centros,
a constante da gravitação de Newton.
Primeiramente, considere as distâncias
e
entre o centro do Sol e a pessoa, e entre o centro da Terra e a pessoa, respectivamente. Note que, se
é a distância entre os centros, então
, enquanto
está no intervalo
. Faça um desenho fora de escala para visualizar isto.
Com base nas suas respostas do item c-ii, explique porque
e
são aproximações razoáveis.
Primeiramente, considere as distâncias
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está lidando com a força gravitacional entre dois corpos, no caso, o Sol e a Terra, e uma pessoa. A fórmula que descreve essa força é:
Aqui,
e
são as massas dos corpos,
é a distância entre os centros deles, e
é a constante da gravitação de Newton. A gente precisa analisar por que podemos aproximar
(distância entre o centro da Terra e a pessoa) por
(raio da Terra) e
(distância entre o centro do Sol e a pessoa) por
(distância entre o Sol e a Terra). Para isso, vamos usar algumas noções básicas de geometria e observações sobre as magnitudes dessas distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Aqui,
é o raio da Terra, e
é a altura da pessoa acima da superfície da Terra. Normalmente,
(a altura de uma pessoa) é muito pequeno comparado ao raio da Terra. Por exemplo, se
é de aproximadamente 6.371 km e
é cerca de 1,7 metros, então
é insignificante em relação a
.
Passo 3
Como
é tão pequeno comparado a
, podemos dizer que
. Isso significa que, para simplificar nossos cálculos, podemos considerar a distância da pessoa ao centro da Terra praticamente igual ao raio da Terra. Essa aproximação facilita bastante sem introduzir erros significativos nos resultados.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. A distância entre o Sol e a Terra,
, é cerca de 149,6 milhões de km. Já o raio da Terra,
, é de aproximadamente 6.371 km, e a altura da pessoa,
, é de apenas alguns metros. Quando somamos ou subtraímos essas pequenas distâncias (
) de
, a variação relativa é quase desprezível.
Passo 5
Ou seja, na expressão
, a diferença entre
e os outros termos é tão pequena que, para nossos propósitos, podemos simplificar dizendo que
. Isso torna os cálculos mais simples e ainda mantém uma precisão muito boa.
Resposta
Portanto, devido à pequena magnitude de
em relação a
e a
, podemos razoavelmente aproximar
e
, simplificando nossos cálculos sem perder precisão significativa.