A interação gravitacional é descrita pela força dada por
onde e são as massas dos corpos, a distância entre seus centros, a constante da gravitação de Newton.
Primeiramente, considere as distâncias e entre o centro do Sol e a pessoa, e entre o centro da Terra e a pessoa, respectivamente. Note que, se é a distância entre os centros, então , enquanto está no intervalo . Faça um desenho fora de escala para visualizar isto.
Com base nas suas respostas do item c-ii, explique porque e são aproximações razoáveis.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está lidando com a força gravitacional entre dois corpos, no caso, o Sol e a Terra, e uma pessoa. A fórmula que descreve essa força é:
Aqui, e são as massas dos corpos, é a distância entre os centros deles, e é a constante da gravitação de Newton. A gente precisa analisar por que podemos aproximar (distância entre o centro da Terra e a pessoa) por (raio da Terra) e (distância entre o centro do Sol e a pessoa) por (distância entre o Sol e a Terra). Para isso, vamos usar algumas noções básicas de geometria e observações sobre as magnitudes dessas distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Aqui, é o raio da Terra, e é a altura da pessoa acima da superfície da Terra. Normalmente, (a altura de uma pessoa) é muito pequeno comparado ao raio da Terra. Por exemplo, se é de aproximadamente 6.371 km e é cerca de 1,7 metros, então é insignificante em relação a .

Passo 3

Como é tão pequeno comparado a , podemos dizer que . Isso significa que, para simplificar nossos cálculos, podemos considerar a distância da pessoa ao centro da Terra praticamente igual ao raio da Terra. Essa aproximação facilita bastante sem introduzir erros significativos nos resultados.

Passo 4

Agora, vamos analisar . A distância entre o Sol e a Terra, , é cerca de 149,6 milhões de km. Já o raio da Terra, , é de aproximadamente 6.371 km, e a altura da pessoa, , é de apenas alguns metros. Quando somamos ou subtraímos essas pequenas distâncias ( ) de , a variação relativa é quase desprezível.

Passo 5

Ou seja, na expressão , a diferença entre e os outros termos é tão pequena que, para nossos propósitos, podemos simplificar dizendo que . Isso torna os cálculos mais simples e ainda mantém uma precisão muito boa.

Resposta

Portanto, devido à pequena magnitude de em relação a e a , podemos razoavelmente aproximar e , simplificando nossos cálculos sem perder precisão significativa.

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onde e são as massas dos corpos, a distância entre seus centros, a constante da gravitação de Newton.
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ÇÃãããã
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