A interação gravitacional é descrita pela força dada por
F=G mA mBrA B^2
onde mA e mB são as massas dos corpos, rA B a distância entre seus centros, G a constante da gravitação de Newton.
Primeiramente, considere as distâncias rS P e rT P entre o centro do Sol e a pessoa, e entre o centro da Terra e a pessoa, respectivamente. Note que, se dS T é a distância entre os centros, então rT P=RT+h, enquanto rS P está no intervalo dS T-RT-h <= rS P <= dS T+RT+h. Faça um desenho fora de escala para visualizar isto.
Com base nas suas respostas do item c-ii, explique porque rT P approx RT e rS P approx dS T são aproximações razoáveis.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está lidando com a força gravitacional entre dois corpos, no caso, o Sol e a Terra, e uma pessoa. A fórmula que descreve essa força é:
F = G mA mBrA B^2
Aqui, mA e mB são as massas dos corpos, rA B é a distância entre os centros deles, e G é a constante da gravitação de Newton. A gente precisa analisar por que podemos aproximar rT P (distância entre o centro da Terra e a pessoa) por RT (raio da Terra) e rS P (distância entre o centro do Sol e a pessoa) por dS T (distância entre o Sol e a Terra). Para isso, vamos usar algumas noções básicas de geometria e observações sobre as magnitudes dessas distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para rT P = RT + h. Aqui, RT é o raio da Terra, e h é a altura da pessoa acima da superfície da Terra. Normalmente, h (a altura de uma pessoa) é muito pequeno comparado ao raio da Terra. Por exemplo, se RT é de aproximadamente 6.371 km e h é cerca de 1,7 metros, então h é insignificante em relação a RT.

Passo 3

Como h é tão pequeno comparado a RT, podemos dizer que rT P approx RT. Isso significa que, para simplificar nossos cálculos, podemos considerar a distância da pessoa ao centro da Terra praticamente igual ao raio da Terra. Essa aproximação facilita bastante sem introduzir erros significativos nos resultados.

Passo 4

Agora, vamos analisar rS P. A distância entre o Sol e a Terra, dS T, é cerca de 149,6 milhões de km. Já o raio da Terra, RT, é de aproximadamente 6.371 km, e a altura da pessoa, h, é de apenas alguns metros. Quando somamos ou subtraímos essas pequenas distâncias ( RT + h) de dS T, a variação relativa é quase desprezível.

Passo 5

Ou seja, na expressão dS T - RT - h <= rS P <= dS T + RT + h, a diferença entre dS T e os outros termos é tão pequena que, para nossos propósitos, podemos simplificar dizendo que rS P approx dS T. Isso torna os cálculos mais simples e ainda mantém uma precisão muito boa.

Resposta

Portanto, devido à pequena magnitude de h em relação a RT e a dS T, podemos razoavelmente aproximar rT P approx RT e rS P approx dS T, simplificando nossos cálculos sem perder precisão significativa.

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