Interpretando x(t) como a posição no espaço de fase em função do tempo, explique por que a EDO acima nos diz que a velocidade é função apenas da posição no espaço de fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar por que, ao interpretar como a posição no espaço de fase em função do tempo, a equação diferencial ordinária (EDO) nos diz que a velocidade é função apenas da posição nesse espaço. Para entender isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e espaço de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO relaciona uma função desconhecida e suas derivadas. No contexto do espaço de fase, representa a posição e representa a velocidade.

Passo 3

Quando a EDO é da forma , isso significa que a taxa de variação de em relação ao tempo depende apenas do valor atual de . Não há dependência direta do tempo na equação.

Passo 4

Esse tipo de EDO é chamada de autônoma, porque a função que determina a derivada não depende explicitamente do tempo. Portanto, a velocidade é determinada unicamente pela posição no espaço de fase.

Passo 5

No espaço de fase, cada ponto representa um estado do sistema, ou seja, uma posição específica . Como a velocidade depende apenas de , para cada ponto no espaço de fase, a velocidade é determinada somente por onde você está nesse espaço.

Resposta

Então, a EDO nos diz que a velocidade é função apenas da posição no espaço de fase porque a taxa de variação de depende unicamente do valor atual de , tornando a velocidade dependente apenas da posição no espaço de fase e não do tempo diretamente.

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