Prove que o conjunto
é infinito se, e somente se,
-
.
- Não existe, seja qual for
, uma função sobrejetora
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um conjunto
é infinito se, e somente se:
-
não é vazio ( ). - Não existe, para nenhum número natural
, uma função sobrejetora .
Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser infinito, o que é uma função sobrejetora, e como provar essa equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto infinito. Um conjunto é infinito se não tem um número finito de elementos. Ou seja, não conseguimos contá-lo finitamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre função sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto
.
Passo 4
Vamos provar a implicação direta: se
é infinito, então
e não existe uma função sobrejetora
para nenhum
.
Passo 5
Como
é infinito, ele não pode ser vazio. Portanto,
.
Passo 6
Suponha, para chegar a um absurdo, que existe uma função sobrejetora
para algum
. Isso implicaria que
teria pelo menos
elementos, tornando-o finito. Isso contraria nossa hipótese de que
é infinito. Logo, não existe tal função sobrejetora.
Passo 7
Agora, vamos provar a implicação contrária: se
e não existe nenhuma função sobrejetora
para nenhum
, então
é infinito.
Passo 8
Se
fosse finito, com, digamos,
elementos, poderíamos definir uma função sobrejetora de
para
mapeando cada elemento de
para os elementos de
. Isso violaria a condição de que não existe tal função. Portanto,
deve ser infinito.
Resposta
Assim, mostramos que
é infinito se, e somente se,
não é vazio e não existe nenhuma função sobrejetora de um conjunto finito para
. Portanto, o conjunto
é infinito conforme as condições dadas.
Exercícios relacionados
Interpretando
como a posição no espaço de fase em função do tempo, explique por que a EDO acima nos diz que a velocidade é função apenas da posição no espaço de fase.
Calcule
se
então
Sejam
enumerável e
tal que, para cada
é enumerável. Prove que
é enumerável.