Prove que o conjunto é infinito se, e somente se,
  • .
  • Não existe, seja qual for , uma função sobrejetora .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um conjunto é infinito se, e somente se:
  • não é vazio ( ).
  • Não existe, para nenhum número natural , uma função sobrejetora .
Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser infinito, o que é uma função sobrejetora, e como provar essa equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto infinito. Um conjunto é infinito se não tem um número finito de elementos. Ou seja, não conseguimos contá-lo finitamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto .

Passo 4

Vamos provar a implicação direta: se é infinito, então e não existe uma função sobrejetora para nenhum .

Passo 5

Como é infinito, ele não pode ser vazio. Portanto, .

Passo 6

Suponha, para chegar a um absurdo, que existe uma função sobrejetora para algum . Isso implicaria que teria pelo menos elementos, tornando-o finito. Isso contraria nossa hipótese de que é infinito. Logo, não existe tal função sobrejetora.

Passo 7

Agora, vamos provar a implicação contrária: se e não existe nenhuma função sobrejetora para nenhum , então é infinito.

Passo 8

Se fosse finito, com, digamos, elementos, poderíamos definir uma função sobrejetora de para mapeando cada elemento de para os elementos de . Isso violaria a condição de que não existe tal função. Portanto, deve ser infinito.

Resposta

Assim, mostramos que é infinito se, e somente se, não é vazio e não existe nenhuma função sobrejetora de um conjunto finito para . Portanto, o conjunto é infinito conforme as condições dadas.

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