Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de , a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos que interpretar a afirmação “a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem” como uma equação diferencial para a função . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas (que nos dão a inclinação da reta tangente) e a fórmula para calcular a distância de um ponto à origem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa a inclinação da reta tangente. A inclinação da reta tangente a um ponto na curva é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância do ponto à origem. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
â
Como a origem é , a distância de à origem fica:
â

Passo 4

Segundo a afirmação do problema, a inclinação da reta tangente é o quadrado dessa distância. Então, temos:

Passo 5

Simplificando a equação, o quadrado da raiz elimina o radical:

Resposta

A equação diferencial correspondente é:

Exercícios relacionados

Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
(1,5 ponto) Considere a superfície . O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .