Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de
, a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos que interpretar a afirmação “a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem” como uma equação diferencial para a função
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas (que nos dão a inclinação da reta tangente) e a fórmula para calcular a distância de um ponto à origem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa a inclinação da reta tangente. A inclinação da reta tangente a um ponto
na curva
é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância do ponto
à origem. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Como a origem é
, a distância de
à origem fica:
Passo 4
Segundo a afirmação do problema, a inclinação da reta tangente é o quadrado dessa distância. Então, temos:
Passo 5
Simplificando a equação, o quadrado da raiz elimina o radical:
Resposta
A equação diferencial correspondente é:
Exercícios relacionados
Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
(1,5 ponto) Considere a superfície
. O plano
intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em
.
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em