Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de y = phi(x), a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos que interpretar a afirmação “a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem” como uma equação diferencial para a função . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas (que nos dão a inclinação da reta tangente) e a fórmula para calcular a distância de um ponto à origem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa a inclinação da reta tangente. A inclinação da reta tangente a um ponto na curva é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância do ponto à origem. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
â
Como a origem é , a distância de à origem fica:
â

Passo 4

Segundo a afirmação do problema, a inclinação da reta tangente é o quadrado dessa distância. Então, temos:

Passo 5

Simplificando a equação, o quadrado da raiz elimina o radical:

Resposta

A equação diferencial correspondente é:

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