Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
y = C * e^(y/x), y' = y^2 / (x * y - x^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma relação implícita proposta:
Nosso objetivo é provar que essa relação satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivação implícita e manipulação de equações exponenciais.

Passo 2

Primeiro, como estamos trabalhando com uma solução implícita, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo em relação a :

Passo 4

Derivando o lado direito usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, derivamos usando a regra do quociente:

Passo 6

Substituindo essa derivada na equação anterior:

Passo 7

Como , podemos substituir na equação:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 9

Distribuindo no lado direito:

Passo 10

Rearranjando os termos para isolar :

Resposta

A relação satisfaz a equação diferencial , provando que é uma solução implícita da equação dada.

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