Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma relação implícita proposta:
Nosso objetivo é provar que essa relação satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivação implícita e manipulação de equações exponenciais.
Passo 2
Primeiro, como estamos trabalhando com uma solução implícita, precisamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo em relação a
:
Passo 4
Derivando o lado direito usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, derivamos
usando a regra do quociente:
Passo 6
Substituindo essa derivada na equação anterior:
Passo 7
Como
, podemos substituir na equação:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Distribuindo
no lado direito:
Passo 10
Rearranjando os termos para isolar
:
Resposta
A relação
satisfaz a equação diferencial
, provando que é uma solução implícita da equação dada.
Exercícios relacionados
Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de
, a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
(1,5 ponto) Considere a superfície
. O plano
intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em
.