A intersecção do cilindro x^2 + y^2 = 4 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 36 corresponde, em coordenadas esféricas, a
a) phi = arcsen(1/3)
b) phi = 0
c) phi = pi / 6
d) phi = arcsen(raiz(2) / 2)
e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a intersecção de um cilindro e uma esfera. Especificamente, queremos encontrar em que ângulo (em coordenadas esféricas) ocorre essa interseção. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e coordenadas esféricas. Precisaremos entender como converter as equações dadas para coordenadas esféricas e encontrar a relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações fornecidas:
  • A equação do cilindro é .
  • A equação da esfera é .
Nossa meta é encontrar o valor de que satisfaz ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Sabemos que em coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas são relacionadas por:
Onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano ,
  • é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Dado que estamos trabalhando com a esfera , sabemos que , pois .
Substituindo na equação do cilindro:

Passo 5

Simplificando a equação:

Passo 6

Resolvendo para :
Então,

Passo 7

Para encontrar , usamos a função arco seno:

Resposta

a)

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