Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por duas equações paramétricas: e . Nosso objetivo é transformar isso numa única equação que relacione e diretamente, sem o . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de funções paramétricas e aprender a eliminar o parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação de :
A ideia aqui é isolar o para poder substituir na outra equação. Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

Passo 3

Agora que temos , vamos usar isso na equação de :
Substituindo por :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

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A intersecção do cilindro com a esfera corresponde, em coordenadas esféricas, a
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.
A intersecção do cilindro com a esfera corresponde, em coordenadas esféricas, a
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(s) .