lim (x, y) (0,0) 3 x^2+3 x y-6x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2+3 x y-6x+y
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função à medida que (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando (x, y) se aproxima de (0,0).
No numerador: 3x^2 + 3xy - 6. Quando x e y vão para 0, 3x^2 e 3xy também vão para 0, mas o termo -6 permanece constante. Portanto, o numerador tende a -6.
No denominador: x + y. Quando x e y vão para 0, x + y também tende a 0.

Passo 3

Agora, percebemos que a expressão se torna uma forma do tipo -60. Matemáticamente, quando uma constante é dividida por um número que tende a 0, o resultado tende a infinito ou negativo infinito, dependendo do sinal do denominador.

Passo 4

Vamos verificar se o limite é o mesmo em todas as direções que nos aproximamos de (0,0). Por exemplo:
  • Se nos aproximarmos ao longo da linha y = -x, o denominador x + y = x - x = 0, o que confirma que estamos dividindo por zero.
  • Se nos aproximarmos pela linha y = 0, a expressão fica 3x^2 - 6x, que para x neq 0 simplifica para 3x - 6x. Quando x tende a 0, -6x tende a -infty.

Passo 5

Dado que o valor do limite depende do caminho de aproximação e tende a -infty ou +infty, concluímos que o limite não existe de forma finita.

Resposta

O limite não existe pois a expressão tende a menos infinito quando (x, y) se aproxima de (0,0).

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