Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a projeção ortogonal do polinômio
na reta gerada por
no espaço dos polinômios de grau até 2, usando o produto interno definido pela integral de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em um espaço vetorial com produto interno, a projeção de um vetor
sobre um vetor
é o “melhor ajuste” de
na direção de
. Matematicamente, a projeção
é dada por:
Aqui,
representa o produto interno de
e
, que no nosso caso é a integral de
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Primeiro,
:
Vamos expandir os polinômios:
Somando tudo:
Agora, integramos de 0 a 1:
Somando tudo:
Agora,
:
Integrando:
Somando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a projeção:
Multiplicando
por
:
Resposta
A projeção ortogonal de
na reta gerada por
é
. Portanto, a alternativa correta é a ©.
Exercícios relacionados
d-Mostre que
pontos
Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se é invertível então
não é divisor de zero.
a) Se
Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de
Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de é um divisor de zero então algum dos fatores o é.
c) Se o produto de dois elementos de