Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de na reta gerada por .
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a projeção ortogonal do polinômio na reta gerada por no espaço dos polinômios de grau até 2, usando o produto interno definido pela integral de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em um espaço vetorial com produto interno, a projeção de um vetor sobre um vetor é o “melhor ajuste” de na direção de . Matematicamente, a projeção é dada por:
Aqui, representa o produto interno de e , que no nosso caso é a integral de de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular e :
Primeiro, :
Vamos expandir os polinômios:
Somando tudo:
Agora, integramos de 0 a 1:
Somando tudo:
Agora, :
Integrando:
Somando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a projeção:
Multiplicando por :

Resposta

A projeção ortogonal de na reta gerada por é . Portanto, a alternativa correta é a ©.

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Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
d-Mostre que pontos
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se é invertível então não é divisor de zero.
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de é um divisor de zero então algum dos fatores o é.