Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=2 x^2-2 x+4 na reta gerada por q(x)=2 x-3.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 2 x^2-2 x+4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -44 x^213+44 x13-8813
(B) 7513-50 x13
© 6613-44 x13
(D) 6913-46 x13
(E) -46 x^213+46 x13-9213
(F) 7213-48 x13
(G) -48 x^213+48 x13-9613
(H) -50 x^213+50 x13-10013
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a projeção ortogonal do polinômio na reta gerada por no espaço dos polinômios de grau até 2, usando o produto interno definido pela integral de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente projeções em espaços vetoriais com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em um espaço vetorial com produto interno, a projeção de um vetor projq(p) = lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= q sobre um vetor é o “melhor ajuste” de na direção de . Matematicamente, a projeção é dada por:
Aqui, representa o produto interno de e , que no nosso caso é a integral de de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<= = integral0^1 (2x^2 - 2x + 4)(2x - 3) dx e (2x^2)(2x) = 4x^3 (2x^2)(-3) = -6x^2 (-2x)(2x) = -4x^2 (-2x)(-3) = 6x 4(2x) = 8x 4(-3) = -12 :
Primeiro, 4x^3 - 6x^2 - 4x^2 + 6x + 8x - 12 = 4x^3 - 10x^2 + 14x - 12 :
integral0^1 4x^3 dx = 4 [ x^44 ]0^1 = 1 integral0^1 -10x^2 dx = -10 [ x^33 ]0^1 = -103 integral0^1 14x dx = 14 [ x^22 ]0^1 = 7 integral0^1 -12 dx = -12 [x]0^1 = -12
Vamos expandir os polinômios:
1 - 103 + 7 - 12 = 1 - 103 - 5 = 33 - 103 - 153 = -223
Somando tudo:
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2x - 3)^2 dx = integral0^1 4x^2 - 12x + 9 dx
Agora, integramos de 0 a 1:
integral0^1 4x^2 dx = 4 [ x^33 ]0^1 = 43 integral0^1 -12x dx = -12 [ x^22 ]0^1 = -6 integral0^1 9 dx = 9 [x]0^1 = 9
Somando tudo:
43 - 6 + 9 = 43 + 3 = 133
Agora, :
Integrando:
Somando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a projeção:
projq(p) = lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= q = -223133 q = -2213 q
Multiplicando -2213 (2x - 3) = -4413x + 6613 por :

Resposta

A projeção ortogonal de na reta gerada por é . Portanto, a alternativa correta é a ©.

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