Seja (A,+, cdot) um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de A é um divisor de zero então algum dos fatores o é.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, ou seja, (A, +, cdot). Queremos provar que se o produto de dois elementos desse anel é um divisor de zero, então pelo menos um dos elementos multiplicados também é um divisor de zero. Para isso, vamos precisar entender o que é um divisor de zero e usar propriedades básicas de anéis comutativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel, um elemento a in A é chamado de divisor de zero se existir um elemento b in A, diferente de zero, tal que a cdot b = 0. Ou seja, multiplicar a por b dá zero, mesmo que nenhum dos dois seja zero individualmente.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos dois elementos a e b em A tal que seu produto a cdot b é um divisor de zero. Isso significa que existe algum elemento c in A, diferente de zero, tal que (a cdot b) cdot c = 0.

Passo 4

Como o anel A é comutativo, a ordem da multiplicação não importa. Portanto, podemos reescrever (a cdot b) cdot c como a cdot (b cdot c).

Passo 5

A equação fica a cdot (b cdot c) = 0. Sabemos que c neq 0. Vamos analisar duas possibilidades:
  1. b cdot c = 0
  2. a = 0

Passo 6

Se b cdot c = 0 e c neq 0, então b é um divisor de zero por definição.

Passo 7

Se, por outro lado, a = 0, então a é um divisor de zero porque 0 cdot c = 0, onde c neq 0.

Passo 8

Em ambos os casos, concluímos que pelo menos um dos elementos, a ou b, é um divisor de zero.

Resposta

Portanto, se o produto de dois elementos em A é um divisor de zero, então pelo menos um dos fatores também é um divisor de zero.

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