Seja
um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de
é um divisor de zero então algum dos fatores o é.
c) Se o produto de dois elementos de
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, ou seja,
. Queremos provar que se o produto de dois elementos desse anel é um divisor de zero, então pelo menos um dos elementos multiplicados também é um divisor de zero. Para isso, vamos precisar entender o que é um divisor de zero e usar propriedades básicas de anéis comutativos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel, um elemento
é chamado de divisor de zero se existir um elemento
, diferente de zero, tal que
. Ou seja, multiplicar
por
dá zero, mesmo que nenhum dos dois seja zero individualmente.
Passo 3
Agora, vamos supor que temos dois elementos
e
em
tal que seu produto
é um divisor de zero. Isso significa que existe algum elemento
, diferente de zero, tal que
.
Passo 4
Como o anel
é comutativo, a ordem da multiplicação não importa. Portanto, podemos reescrever
como
.
Passo 5
A equação fica
. Sabemos que
. Vamos analisar duas possibilidades:
Passo 6
Se
e
, então
é um divisor de zero por definição.
Passo 7
Se, por outro lado,
, então
é um divisor de zero porque
, onde
.
Passo 8
Em ambos os casos, concluímos que pelo menos um dos elementos,
ou
, é um divisor de zero.
Resposta
Portanto, se o produto de dois elementos em
é um divisor de zero, então pelo menos um dos fatores também é um divisor de zero.