Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de é um divisor de zero então algum dos fatores o é.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, ou seja, . Queremos provar que se o produto de dois elementos desse anel é um divisor de zero, então pelo menos um dos elementos multiplicados também é um divisor de zero. Para isso, vamos precisar entender o que é um divisor de zero e usar propriedades básicas de anéis comutativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Em um anel, um elemento é chamado de divisor de zero se existir um elemento , diferente de zero, tal que . Ou seja, multiplicar por dá zero, mesmo que nenhum dos dois seja zero individualmente.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos dois elementos e em tal que seu produto é um divisor de zero. Isso significa que existe algum elemento , diferente de zero, tal que .

Passo 4

Como o anel é comutativo, a ordem da multiplicação não importa. Portanto, podemos reescrever como .

Passo 5

A equação fica . Sabemos que . Vamos analisar duas possibilidades:

Passo 6

Se e , então é um divisor de zero por definição.

Passo 7

Se, por outro lado, , então é um divisor de zero porque , onde .

Passo 8

Em ambos os casos, concluímos que pelo menos um dos elementos, ou , é um divisor de zero.

Resposta

Portanto, se o produto de dois elementos em é um divisor de zero, então pelo menos um dos fatores também é um divisor de zero.

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Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de na reta gerada por .
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por ;
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
b)