Seja (A,+, cdot) um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de A é nulo ou é um divisor de zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! A questão está falando sobre um anel comutativo com unidade, que é tipo um conjunto onde podemos somar e multiplicar elementos de forma que a ordem da multiplicação não importa e existe um elemento que age como 1 na multiplicação.
O problema quer que a gente prove que se você tem um divisor de zero (um elemento que, ao multiplicar por outro não-zero, dá zero) e multiplica esse divisor de zero por qualquer outro elemento do anel, o resultado ou é zero ou também é um divisor de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um divisor de zero. Em um anel a cdot b = 0 , um elemento é um divisor de zero se existe um elemento em tal que:

Passo 3

Agora, vamos pegar um divisor de zero em e multiplicar por um elemento qualquer de . Queremos mostrar que é zero ou é um divisor de zero.

Passo 4

Existem duas possibilidades:
  1. a cdot 0 = 0 : Se multiplicarmos a cdot b = 0 por zero, claramente:
Então, nesse caso, , que é uma das opções que queríamos provar.
  1. : Se não for zero, precisamos mostrar que é um divisor de zero. Sabemos que é um divisor de zero, então existe tal que:

Passo 5

Vamos multiplicar (a cdot c) cdot b = a cdot (c cdot b) por a cdot (c cdot b) = (a cdot c) cdot b :
a cdot (c cdot b) = c cdot (a cdot b) = c cdot 0 = 0
Como o anel é comutativo, podemos reordenar os termos:
Mas sabemos que , então:

Passo 6

Então, temos que:
(a cdot c) cdot b = 0
Como e multiplicado por dá zero, isso mostra que é um divisor de zero.

Resposta

Portanto, provamos que o produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.

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