Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido! A questão está falando sobre um anel comutativo com unidade, que é tipo um conjunto onde podemos somar e multiplicar elementos de forma que a ordem da multiplicação não importa e existe um elemento que age como 1 na multiplicação.
O problema quer que a gente prove que se você tem um divisor de zero (um elemento que, ao multiplicar por outro não-zero, dá zero) e multiplica esse divisor de zero por qualquer outro elemento do anel, o resultado ou é zero ou também é um divisor de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um divisor de zero. Em um anel , um elemento é um divisor de zero se existe um elemento em tal que:
Passo 3
Agora, vamos pegar um divisor de zero em e multiplicar por um elemento qualquer de . Queremos mostrar que é zero ou é um divisor de zero.
Passo 4
Existem duas possibilidades:
: Se multiplicarmos por zero, claramente:
Então, nesse caso, , que é uma das opções que queríamos provar.
: Se não for zero, precisamos mostrar que é um divisor de zero. Sabemos que é um divisor de zero, então existe tal que:
Passo 5
Vamos multiplicar por :
Como o anel é comutativo, podemos reordenar os termos:
Mas sabemos que , então:
Passo 6
Então, temos que:
Como e multiplicado por dá zero, isso mostra que é um divisor de zero.
Resposta
Portanto, provamos que o produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.