Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! A questão está falando sobre um anel comutativo com unidade, que é tipo um conjunto onde podemos somar e multiplicar elementos de forma que a ordem da multiplicação não importa e existe um elemento que age como 1 na multiplicação.
O problema quer que a gente prove que se você tem um divisor de zero (um elemento que, ao multiplicar por outro não-zero, dá zero) e multiplica esse divisor de zero por qualquer outro elemento do anel, o resultado ou é zero ou também é um divisor de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um divisor de zero. Em um anel , um elemento é um divisor de zero se existe um elemento em tal que:

Passo 3

Agora, vamos pegar um divisor de zero em e multiplicar por um elemento qualquer de . Queremos mostrar que é zero ou é um divisor de zero.

Passo 4

Existem duas possibilidades:
  1. : Se multiplicarmos por zero, claramente:
Então, nesse caso, , que é uma das opções que queríamos provar.
  1. : Se não for zero, precisamos mostrar que é um divisor de zero. Sabemos que é um divisor de zero, então existe tal que:

Passo 5

Vamos multiplicar por :
Como o anel é comutativo, podemos reordenar os termos:
Mas sabemos que , então:

Passo 6

Então, temos que:
Como e multiplicado por dá zero, isso mostra que é um divisor de zero.

Resposta

Portanto, provamos que o produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.

Exercícios relacionados

Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de na reta gerada por .
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
d-Mostre que pontos
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
c) Se o produto de dois elementos de é um divisor de zero então algum dos fatores o é.
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por ;