Seja (A,+, cdot) um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se u in A é invertível então u não é divisor de zero.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, que é uma estrutura matemática onde podemos adicionar e multiplicar elementos, e a multiplicação é comutativa (ou seja, a cdot b = b cdot a). A unidade é o elemento que funciona como 1 para a multiplicação. O exercício quer que a gente prove que, se um elemento u desse anel é invertível (ou seja, existe um elemento u^-1 tal que u cdot u^-1 = 1), então u não é um divisor de zero (não existe um elemento a neq 0 tal que u cdot a = 0).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos invertíveis e divisores de zero, além de usar propriedades básicas de anéis comutativos.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa um elemento ser invertível. Em um anel com unidade, um elemento u é invertível se existe outro elemento u^-1 no anel tal que:
u cdot u^-1 = 1
Aqui, 1 é a unidade do anel. Ter um inverso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por u usando u^-1.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Um elemento u é chamado divisor de zero se existe um elemento a neq 0 no anel tal que:
u cdot a = 0
Ou seja, multiplicar u por algum elemento não nulo resulta em zero, o que pode ser problemático em algumas estruturas matemáticas.

Passo 4

Nosso objetivo é provar que, se u é invertível, então não pode ser um divisor de zero. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que u é invertível e divisor de zero. Ou seja:
  1. u é invertível: existe u^-1 tal que u cdot u^-1 = 1.
  2. u é divisor de zero: existe a neq 0 tal que u cdot a = 0.

Passo 5

A partir da segunda suposição, temos u cdot a = 0. Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de u, ou seja, por u^-1:
u^-1 cdot (u cdot a) = u^-1 cdot 0

Passo 6

Usando a associatividade da multiplicação (uma propriedade dos anéis), podemos reescrever a esquerda:
(u^-1 cdot u) cdot a = 0
E sabemos que u^-1 cdot u = 1, então:
1 cdot a = 0
Como 1 é a unidade do anel, multiplicar qualquer elemento por 1 não muda o elemento, então:
a = 0

Passo 7

Chegamos a a = 0, o que contraria nossa suposição inicial de que a neq 0. Essa contradição significa que a nossa suposição de que u é invertível e divisor de zero não pode ser verdadeira.

Resposta

Portanto, se u é invertível em um anel comutativo com unidade, então u não pode ser um divisor de zero.

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