Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se é invertível então não é divisor de zero.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, que é uma estrutura matemática onde podemos adicionar e multiplicar elementos, e a multiplicação é comutativa (ou seja, ). A unidade é o elemento que funciona como 1 para a multiplicação. O exercício quer que a gente prove que, se um elemento desse anel é invertível (ou seja, existe um elemento tal que ), então não é um divisor de zero (não existe um elemento tal que ).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos invertíveis e divisores de zero, além de usar propriedades básicas de anéis comutativos.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa um elemento ser invertível. Em um anel com unidade, um elemento é invertível se existe outro elemento no anel tal que:
Aqui, é a unidade do anel. Ter um inverso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por usando .

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Um elemento é chamado divisor de zero se existe um elemento no anel tal que:
Ou seja, multiplicar por algum elemento não nulo resulta em zero, o que pode ser problemático em algumas estruturas matemáticas.

Passo 4

Nosso objetivo é provar que, se é invertível, então não pode ser um divisor de zero. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que é invertível e divisor de zero. Ou seja:
  1. é invertível: existe tal que .
  2. é divisor de zero: existe tal que .

Passo 5

A partir da segunda suposição, temos . Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de , ou seja, por :

Passo 6

Usando a associatividade da multiplicação (uma propriedade dos anéis), podemos reescrever a esquerda:
E sabemos que , então:
Como é a unidade do anel, multiplicar qualquer elemento por não muda o elemento, então:

Passo 7

Chegamos a , o que contraria nossa suposição inicial de que . Essa contradição significa que a nossa suposição de que é invertível e divisor de zero não pode ser verdadeira.

Resposta

Portanto, se é invertível em um anel comutativo com unidade, então não pode ser um divisor de zero.

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Assinale a projeção ortogonal de na reta gerada por .
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei