Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se é invertível então não é divisor de zero.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel comutativo com unidade, que é uma estrutura matemática onde podemos adicionar e multiplicar elementos, e a multiplicação é comutativa (ou seja, ). A unidade é o elemento que funciona como 1 para a multiplicação. O exercício quer que a gente prove que, se um elemento desse anel é invertível (ou seja, existe um elemento tal que ), então não é um divisor de zero (não existe um elemento tal que ).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos invertíveis e divisores de zero, além de usar propriedades básicas de anéis comutativos.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa um elemento ser invertível. Em um anel com unidade, um elemento é invertível se existe outro elemento no anel tal que:
Aqui, é a unidade do anel. Ter um inverso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por usando .
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é um divisor de zero. Um elemento é chamado divisor de zero se existe um elemento no anel tal que:
Ou seja, multiplicar por algum elemento não nulo resulta em zero, o que pode ser problemático em algumas estruturas matemáticas.
Passo 4
Nosso objetivo é provar que, se é invertível, então não pode ser um divisor de zero. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que é invertível e divisor de zero. Ou seja:
é invertível: existe tal que .
é divisor de zero: existe tal que .
Passo 5
A partir da segunda suposição, temos . Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de , ou seja, por :
Passo 6
Usando a associatividade da multiplicação (uma propriedade dos anéis), podemos reescrever a esquerda:
E sabemos que , então:
Como é a unidade do anel, multiplicar qualquer elemento por não muda o elemento, então:
Passo 7
Chegamos a , o que contraria nossa suposição inicial de que . Essa contradição significa que a nossa suposição de que é invertível e divisor de zero não pode ser verdadeira.
Resposta
Portanto, se é invertível em um anel comutativo com unidade, então não pode ser um divisor de zero.