Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
d-Mostre que pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que o núcleo (ou kernel) do operador linear é apenas o vetor zero. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas propriedades. Para resolver, vamos analisar a matriz que representa o operador e verificar se a única solução para é .
Passo 2
Primeiro, vamos observar a matriz do operador :
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita a análise do determinante.
Passo 3
Sabemos que para matrizes triangulares (superiores ou inferiores), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero (), isso significa que a matriz é invertível.
Passo 4
Um operador linear é invertível se e somente se seu núcleo é apenas o vetor zero. Portanto, como é invertível, o núcleo de só contém o vetor zero.