Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
d-Mostre que pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que o núcleo (ou kernel) do operador linear é apenas o vetor zero. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas propriedades. Para resolver, vamos analisar a matriz que representa o operador e verificar se a única solução para é .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz do operador :
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita a análise do determinante.

Passo 3

Sabemos que para matrizes triangulares (superiores ou inferiores), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz é invertível.

Passo 4

Um operador linear é invertível se e somente se seu núcleo é apenas o vetor zero. Portanto, como é invertível, o núcleo de só contém o vetor zero.

Resposta

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Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
a) Se é invertível então não é divisor de zero.
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c-Determine a forma da transformação linear , onde . (2,0 pontos)
Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de na reta gerada por .
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Seja um anel comutativo com unidade. Prove que:
b) O produto de um divisor de zero por qualquer elemento de é nulo ou é um divisor de zero.