1^a Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ]
d-Mostre que Ker(T)=0 (0,5 pontos )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que o núcleo (ou kernel) do operador linear é apenas o vetor zero. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e suas propriedades. Para resolver, vamos analisar a matriz que representa o operador e verificar se a única solução para é .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz do operador TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ] :
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita a análise do determinante.

Passo 3

Sabemos que para matrizes triangulares (superiores ou inferiores), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular o determinante de det(TC) = 2 times 4 times 3 times 2 times (-1) = -48 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz é invertível.

Passo 4

Um operador linear é invertível se e somente se seu núcleo é apenas o vetor zero. Portanto, como é invertível, o núcleo de só contém o vetor zero.

Resposta

Exercícios relacionados