Seja T: V W uma função, em que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
f) Se T é linear, então T leva conjuntos L.I. em conjuntos L.I.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é linear, então leva conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.” Aqui, estamos trabalhando com funções lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita sobre os reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação linear e o conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Essas propriedades garantem que a estrutura vetorial é preservada pela transformação.

Passo 3

Agora, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto c1v1 + c2v2 + ldots + cnvn = 0 implies c1 = c2 = ldots = cn = 0 é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero:

Passo 4

Para verificar se a afirmação é verdadeira, precisamos ver se toda transformação linear preserva a independência linear. Ou seja, se é linearmente independente em , então também deve ser linearmente independente em .

Passo 5

No entanto, isso nem sempre acontece. Uma transformação linear pode não ser injetora (ou seja, pode ter um núcleo não trivial). Se houver um vetor não nulo em tal que , então a transformação pode levar um conjunto independente em um conjunto dependente. Por exemplo, se mapeia dois vetores diferentes para o mesmo vetor em , o conjunto resultante será dependente.

Passo 6

Portanto, a preservação da independência linear depende de ser injetora. Como a afirmação não especifica que é injetora, não podemos garantir que todas as transformações lineares preservem a independência linear.

Resposta

Falsa. Uma transformação linear nem sempre leva conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.

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