Seja
uma função, em que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
f) Se
é linear, então
leva conjuntos L.I. em conjuntos L.I.
f) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é linear, então
leva conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.” Aqui, estamos trabalhando com funções lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita sobre os reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação linear e o conceito de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
Essas propriedades garantem que a estrutura vetorial é preservada pela transformação.
Passo 3
Agora, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto
é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero:
Passo 4
Para verificar se a afirmação é verdadeira, precisamos ver se toda transformação linear
preserva a independência linear. Ou seja, se
é linearmente independente em
, então
também deve ser linearmente independente em
.
Passo 5
No entanto, isso nem sempre acontece. Uma transformação linear pode não ser injetora (ou seja, pode ter um núcleo não trivial). Se houver um vetor não nulo
em
tal que
, então a transformação pode levar um conjunto independente em um conjunto dependente. Por exemplo, se
mapeia dois vetores diferentes para o mesmo vetor em
, o conjunto resultante será dependente.
Passo 6
Portanto, a preservação da independência linear depende de
ser injetora. Como a afirmação não especifica que
é injetora, não podemos garantir que todas as transformações lineares preservem a independência linear.
Resposta
Falsa. Uma transformação linear nem sempre leva conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.