Inverta a ordem de integração.
© integral0^pi[integral0^sen x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
integral0^pi[integral0^sin x f(x, y) , dy] , dx
Estamos trabalhando com integrais duplas aqui, e para inverter a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano . Vamos precisar conhecer um pouco de geometria das integrais duplas e como representar a região de integração antes e depois da inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração original. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Isso significa que nossa região está abaixo da curva e entre e .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a curva , para um dado , os valores de variam desde até , já que é simétrica em torno de .

Passo 4

Agora, identificamos os limites para . Como varia de a quando vai de a , vai de a .

Passo 5

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1[integralarcsin y^pi - arcsin y f(x, y) , dx] , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é
integral0^1[integralarcsin y^pi - arcsin y f(x, y) , dx] , dy

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Inverta a ordem de integração.
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b) X seja subconjunto próprio de X'.