Seja X' o conjunto dos pontos de acumulação de X. Dê exemplos de conjuntos X tais que:
b) X seja subconjunto próprio de X'.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e seu conjunto de pontos de acumulação, chamado . A pergunta quer que a gente dê exemplos de conjuntos onde é um subconjunto próprio de . Ou seja, está contido em , mas não são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são pontos de acumulação e como identificar subconjuntos próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto é um ponto de acumulação de se toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de diferente de . O conjunto é, então, o conjunto de todos esses pontos de acumulação de .
Um subconjunto próprio significa que todos os elementos de estão em , mas tem pelo menos um elemento que não está em .

Passo 3

Agora, vamos pensar em exemplos. Um bom exemplo é considerar os números racionais dentro de um intervalo fechado. Por exemplo, seja , ou seja, todos os números racionais entre 0 e 1.
Os pontos de acumulação de são todos os números reais em , porque entre dois números racionais sempre existe um irracional e vice-versa. Portanto, .
Aqui, (que contém apenas os racionais) está contido em (que contém todos os reais no intervalo), mas claramente não é igual a , já que inclui os números irracionais também.

Resposta

Um exemplo é o conjunto dos números racionais no intervalo , ou seja, . Nesse caso, é um subconjunto próprio de , que inclui todos os números reais no intervalo.

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