Inverta a ordem de integração.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla dada:
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com mudança de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender os limites atuais de integração e descobrir como redesenhá-los para inverter a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Aqui,
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia desde
até
.
Passo 3
Vamos identificar as curvas que delimitam
:
-
é uma reta que passa pela origem com inclinação . -
pode ser reescrita elevando ambos os lados ao quadrado: , ou seja, .
Passo 4
A equação
representa um círculo. Podemos completar o quadrado para simplificar:
Isso mostra que é um círculo de raio
centrado em
.
Passo 5
Agora, queremos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar
primeiro e depois
, vamos integrar
primeiro e depois
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de
e, para cada
, os limites correspondentes de
.
Passo 6
Primeiro, determinamos os limites de
. Observando as interseções das duas curvas:
- Quando
, . - Quando
, .
Portanto,
varia de
até
.
Passo 7
Para cada valor de
, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem as duas curvas:
- Da reta
, isolamos : . - Da equação do círculo
, resolvemos para :
Como
varia de
a
, consideramos apenas a solução positiva:
Passo 8
Então, para cada
,
varia de
até
.
Resposta
A ordem de integração invertida é: