Inverta a ordem de integração.
(h) integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y] d x(a>0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla dada:
integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x -x^2 f(x, y) , dy] dx (a > 0)
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com mudança de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender os limites atuais de integração e descobrir como redesenhá-los para inverter a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Aqui, varia de a . Para cada valor de , varia desde até .

Passo 3

Vamos identificar as curvas que delimitam :
  1. é uma reta que passa pela origem com inclinação .
  2. pode ser reescrita elevando ambos os lados ao quadrado: , ou seja, .

Passo 4

A equação (x - 2a)^2 + y^2 = 4a^2 representa um círculo. Podemos completar o quadrado para simplificar:
Isso mostra que é um círculo de raio centrado em .

Passo 5

Agora, queremos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro e depois , vamos integrar primeiro e depois . Para isso, precisamos determinar os novos limites de e, para cada , os limites correspondentes de .

Passo 6

Primeiro, determinamos os limites de . Observando as interseções das duas curvas:
  • Quando , .
  • Quando , .
Portanto, varia de até .

Passo 7

Para cada valor de (x - 2a)^2 = 4a^2 - y^2 x - 2a = pm raiz4a^2 - y^2 x = 2a pm raiz4a^2 - y^2 , precisamos encontrar os valores de x = 2a + raiz4a^2 - y^2 que satisfazem as duas curvas:
  1. Da reta , isolamos : .
  2. Da equação do círculo , resolvemos para :
Como varia de a , consideramos apenas a solução positiva:

Passo 8

Então, para cada , varia de até .

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^raiz3, a [ integralraiz3, y^,2a + raiz4a^2 - y^2 f(x, y) , dx ] dy

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
© integral0^pi[integral0^sen x f(x, y) d y] d x.
Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
f) f(x) = 3^(-x)
Seja X' o conjunto dos pontos de acumulação de X. Dê exemplos de conjuntos X tais que:
b) X seja subconjunto próprio de X'.
Determine o domínio das seguintes funções:
e) y = (2*x - 1) / (3 - 2*x)