Resolva a equação diferencial homogênea :
(y + x tg(y/x)) dx - x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea. Para resolver, vamos precisar usar substituição de variáveis e conhecer um pouco sobre equações separáveis. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização de uma possível substituição. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para expressar :
Assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:
Agora, podemos cancelar o de ambos os lados:

Passo 5

A equação ficou assim:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para lados opostos da equação:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Lembrando que , temos:
A integral de é , e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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