Resolva a equação diferencial homogênea :
(y + x tg(y/x)) dx - x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea. Para resolver, vamos precisar usar substituição de variáveis e conhecer um pouco sobre equações separáveis. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização de uma possível substituição. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para expressar :
Assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:
Agora, podemos cancelar o de ambos os lados:

Passo 5

A equação ficou assim:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para lados opostos da equação:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Lembrando que , temos:
A integral de é , e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio da função f se
(a) f(x, y)=raizx-yx+y
(b) f(x, y)=x^2-y^2x-y
(c) f(x, y)=x+yx y
(d) f(x, y)=16-x^2-y^2
(e) f(x, y)=|x| e^yx
(f) f(x, y)=raiz1-|x|-|y|
(g) f(x, y)=x-ysen(x)-sen(y)
(h) f(x, y)=raizy-x+raiz1-y
(i) f(x, y, z)=x y z-x^4+x^5-z^7
(j) f(x, y, z)=sen(x^2-y^2+z^2)
(k) f(x, y, z)=yx z
(l) f(x, y, z)=x^2 sec (y)+z
(m) f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2-1)
(n) f(x, y, z)=raizz-x^2-y^2
(o) f(x, y, z)=raiz[4]z^2-y^2-x^2
(p) f(x, y, z)=raiz400-16 x^2-25 y^2-z^2
(e) lim h 0 f(x, y+h, z)-f(x, y, z)h
(f) lim h 0 f(x, y, z+h)-f(x, y, z)h
Resolva a equação diferencial linear :
d y/d x + x y = e^x, sendo y(0) = 1
Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
d) f(x, y, z) = x/y^3 + y/z^3 + z/x^3
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d) integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^4+1 d y d x