Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função com três variáveis,
. Precisamos verificar se essa função é homogênea e, se for, descobrir qual é o seu grau de homogeneidade. Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser homogênea e aplicar esse conceito na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um número positivo
, o resultado da função for
vezes o valor original da função. Em outras palavras,
onde
é o vetor de variáveis da função e
é o grau de homogeneidade.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito na função
. Para verificar se
é homogênea, vamos multiplicar cada variável por
e ver como a função se comporta.
Passo 4
Multiplicando cada variável por
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Somando os três termos simplificados, temos:
Passo 7
De acordo com a definição de função homogênea,
. Comparando com o que obtivemos:
Isso significa que
.
Resposta
A função
é homogênea de grau
.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial homogênea :
Determine e esboce o domínio da função
se
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d)
(d)
Para quais valores de
o gráfico da superfície de nível
é não vazio?