Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
d) f(x, y, z) = x/y^3 + y/z^3 + z/x^3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função com três variáveis, . Precisamos verificar se essa função é homogênea e, se for, descobrir qual é o seu grau de homogeneidade. Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser homogênea e aplicar esse conceito na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um número positivo , o resultado da função for vezes o valor original da função. Em outras palavras,
onde é o vetor de variáveis da função e é o grau de homogeneidade.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito na função . Para verificar se é homogênea, vamos multiplicar cada variável por e ver como a função se comporta.

Passo 4

Multiplicando cada variável por , temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando os três termos simplificados, temos:

Passo 7

De acordo com a definição de função homogênea, . Comparando com o que obtivemos:
Isso significa que .

Resposta

A função é homogênea de grau .

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