Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
d) f(x, y, z) = x/y^3 + y/z^3 + z/x^3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função com três variáveis, . Precisamos verificar se essa função é homogênea e, se for, descobrir qual é o seu grau de homogeneidade. Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser homogênea e aplicar esse conceito na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um número positivo , o resultado da função for vezes o valor original da função. Em outras palavras,
onde é o vetor de variáveis da função e é o grau de homogeneidade.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito na função . Para verificar se é homogênea, vamos multiplicar cada variável por e ver como a função se comporta.

Passo 4

Multiplicando cada variável por , temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando os três termos simplificados, temos:

Passo 7

De acordo com a definição de função homogênea, . Comparando com o que obtivemos:
Isso significa que .

Resposta

A função é homogênea de grau .

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial homogênea :
(y + x tg(y/x)) dx - x dy = 0
Determine e esboce o domínio da função f se
(a) f(x, y)=raizx-yx+y
(b) f(x, y)=x^2-y^2x-y
(c) f(x, y)=x+yx y
(d) f(x, y)=16-x^2-y^2
(e) f(x, y)=|x| e^yx
(f) f(x, y)=raiz1-|x|-|y|
(g) f(x, y)=x-ysen(x)-sen(y)
(h) f(x, y)=raizy-x+raiz1-y
(i) f(x, y, z)=x y z-x^4+x^5-z^7
(j) f(x, y, z)=sen(x^2-y^2+z^2)
(k) f(x, y, z)=yx z
(l) f(x, y, z)=x^2 sec (y)+z
(m) f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2-1)
(n) f(x, y, z)=raizz-x^2-y^2
(o) f(x, y, z)=raiz[4]z^2-y^2-x^2
(p) f(x, y, z)=raiz400-16 x^2-25 y^2-z^2
(e) lim h 0 f(x, y+h, z)-f(x, y, z)h
(f) lim h 0 f(x, y, z+h)-f(x, y, z)h
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(d) integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^4+1 d y d x
Para quais valores de k o gráfico da superfície de nível f(x, y, z) = k é não vazio?