Inverta a ordem de integração.
(f) integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Vamos inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
integral0^pi4[integral0^tan x f(x, y) , dy] dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas no cálculo integral. Para resolver isso, vamos analisar os limites de integração atuais e reescrevê-los invertendo a ordem das integrações.

Passo 2

Primeiro, entendemos a região de integração. A integral original nos diz que varia de a , e para cada valor de , varia de a . Visualizando isso no plano , temos uma área onde depende de .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x = arctan y em termos de . Sabemos que , então podemos reescrever como:
Agora, precisamos determinar os novos limites para e . Observando a integral original, varia de a . Sabemos que , então varia de a .
Para cada valor de entre e , varia de a .

Passo 4

Com esses novos limites, reescrevemos a integral invertendo a ordem de integração:
integral0^1[integralarctan y^pi4 f(x, y) , dx] dy
Agora, a integração interna é com respeito a , variando de a , e a integração externa é com respeito a , variando de a .

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1[integralarctan y^pi4 f(x, y) , dx] dy

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