Inverta a ordem de integração.
(f)
.
(f)
Passo 1
Vamos inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas no cálculo integral. Para resolver isso, vamos analisar os limites de integração atuais e reescrevê-los invertendo a ordem das integrações.
Passo 2
Primeiro, entendemos a região de integração. A integral original nos diz que
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
. Visualizando isso no plano
, temos uma área onde
depende de
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então podemos reescrever
como:
Agora, precisamos determinar os novos limites para
e
. Observando a integral original,
varia de
a
. Sabemos que
, então
varia de
a
.
Para cada valor de
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 4
Com esses novos limites, reescrevemos a integral invertendo a ordem de integração:
Agora, a integração interna é com respeito a
, variando de
a
, e a integração externa é com respeito a
, variando de
a
.
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
a)
a)
(2,0 pontos) A lei dos gases para uma massa fixa
de um gás ideal à temperatura absoluta
, pressão
e volume
é dado por
, onde
é a constante do gás. Mostre que
Determine o domínio das seguintes funções:
h)
h)
Determine o domínio das seguintes funções:
n)
n)