Inverter a ordem de integração.
a) integral0^4 integral0^pi2 f(x, y) d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a integral dupla:
integral0^4 integral0^pi2 f(x, y) , dx , dy
O que a gente precisa fazer aqui é inverter a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a região de integração e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Temos indo de 0 a 4, e para cada valor de , vai de 0 a . Isso forma um retângulo no plano , onde:
  • O eixo vai de 0 até 4.
  • O eixo vai de 0 até .
Então, a região de integração é simplesmente um retângulo com lados paralelos aos eixos.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que primeiro integremos em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos definir os novos limites:
  • Para : Ainda vai de 0 até , já que esses são os limites horizontais do retângulo.
  • Para : Para cada , ainda vai de 0 até 4, pois a altura do retângulo não depende de .

Passo 4

Com os novos limites definidos, podemos escrever a integral com a ordem invertida. Ficaria assim:
integral0^pi2 integral0^4 f(x, y) , dy , dx
Isso significa que agora estamos integrando primeiro em de 0 a 4, e depois em de 0 a .

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^pi2 integral0^4 f(x, y) , dy , dx

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