Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea da equação e também encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que estamos ignorando o lado direito (a parte não homogênea) por agora.
Passo 3
Para resolver
, usamos a equação característica. Suponha que a solução tenha a forma
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos
, resultando em
.
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que não é uma função típica para métodos de coeficientes indeterminados, vamos usar o método de Variação de Parâmetros.
Passo 6
No método de Variação de Parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
e
na equação original
:
Simplificando, termos com
e
se cancelam, restando:
Passo 9
Para simplificar, impostamos uma condição adicional que
. Assim, a equação fica:
Passo 10
Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
e somando, obtemos
. Similarmente, resolvemos para
.
Passo 11
Integrando as expressões encontradas:
Depois de calcular as integrais, obtemos as funções
e
.
Passo 12
Substituímos
e
na expressão de
para encontrar a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é a solução particular encontrada pelo método de Variação de Parâmetros, e
,
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
(a)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
e)
e)
Inverter a ordem de integração.
a) ;
a)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: