Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + y = 1/cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea da equação e também encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso significa que estamos ignorando o lado direito (a parte não homogênea) por agora.

Passo 3

Para resolver , usamos a equação característica. Suponha que a solução tenha a forma . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos , resultando em .

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , que não é uma função típica para métodos de coeficientes indeterminados, vamos usar o método de Variação de Parâmetros.

Passo 6

No método de Variação de Parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos e na equação original :
Simplificando, termos com e se cancelam, restando:

Passo 9

Para simplificar, impostamos uma condição adicional que . Assim, a equação fica:

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e somando, obtemos . Similarmente, resolvemos para .

Passo 11

Integrando as expressões encontradas:
Depois de calcular as integrais, obtemos as funções e .

Passo 12

Substituímos e na expressão de para encontrar a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a solução particular encontrada pelo método de Variação de Parâmetros, e , são constantes arbitrárias.

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