Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: d^2y/dx^2 - 3 dy/dx + 2y = e^x/(e^x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e de uma solução particular. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da equação sem o lado direito:
Para resolver essa equação, vamos buscar soluções na forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Podemos dividir todos os termos por (já que nunca é zero), ficando com a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , encontramos os valores de :
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes e , a solução complementar da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
A parte da direita ( ) não é uma função padrão para o método de coeficientes indeterminados, então vamos utilizar a técnica de variação de parâmetros.

Passo 7

Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que são e .
A fórmula para a solução particular é:
Onde e é o Wronskiano das soluções e .

Passo 8

Calculando o Wronskiano :

[
W =


= e^{2x} \cdot e^{x} - e^{x} \cdot 2e^{2x} = e^{3x} - 2e^{3x} = -e^{3x}
]

Passo 9

Agora, substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando os termos:

Passo 10

Vamos resolver as integrais:
Para a primeira integral:
Fazendo a substituição , , então :
Usando frações parciais:
Então:
Para a segunda integral:
Também usando , , :
Novamente, frações parciais:
Então:

Passo 11

Substituindo as integrais de volta na expressão de :
Podemos fatorar o termo comum :

Passo 12

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Inverter a ordem de integração.
a) integral0^4 integral0^pi2 f(x, y) d x d y;
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + y = 1/cos(x)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
m) f(x) = (1 + 4*x)^5 * (3 + x - x^2)^8
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + y = cos(x) / sen(x) con y(0) = 1, y' (0) = pi