Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e de uma solução particular. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da equação sem o lado direito:
Para resolver essa equação, vamos buscar soluções na forma , onde é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea, temos:
Podemos dividir todos os termos por (já que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática , encontramos os valores de :
Então, as raízes são e .
Passo 5
Com as raízes e , a solução complementar da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
A parte da direita () não é uma função padrão para o método de coeficientes indeterminados, então vamos utilizar a técnica de variação de parâmetros.
Passo 7
Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que são e .