Investigar as integrais impróprias seguintes.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é
onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração vão ao infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites e a técnica de integração de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, como o limite superior da integral é o infinito, vamos reescrever a integral como um limite quando
tende ao infinito:
Isso ajuda a transformar a integral imprópria em um problema de cálculo de limite.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
em relação a
. A integral de
é:
Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais, onde a integral de
é
.
Passo 4
Vamos agora aplicar os limites de integração de
a
:
Agora, calculamos o limite quando
vai para o infinito:
Isso acontece porque
tende a zero quando
tende ao infinito, já que a exponencial decai rapidamente.
Resposta
A integral imprópria
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
-
. Considere e .
Faça um resumo sobre o método de Euler Melhorado, explique a razão pela qual este método aproxima melhor a solução quando comparado com o método de Euler tradicional.
Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(g)
(g)
Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
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