Investigar as integrais impróprias seguintes.
(g) integral0^+infty r cdot e^-r x d x, r>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é integral0^+infty r cdot e^-r x , dx onde r > 0. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração vão ao infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites e a técnica de integração de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, como o limite superior da integral é o infinito, vamos reescrever a integral como um limite quando b tende ao infinito:
integral0^+infty r cdot e^-r x , dx = limb to +infty integral0^b r cdot e^-r x , dx
Isso ajuda a transformar a integral imprópria em um problema de cálculo de limite.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função r cdot e^-r x em relação a x. A integral de r cdot e^-r x é:
integral r cdot e^-r x , dx = -e^-r x + C
Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais, onde a integral de e^k x é 1k e^k x + C.

Passo 4

Vamos agora aplicar os limites de integração de 0 a b:
[-e^-r x]0^b = (-e^-r b) - (-e^0) = -e^-r b + 1
Agora, calculamos o limite quando b vai para o infinito:
limb to +infty (-e^-r b + 1) = -0 + 1 = 1
Isso acontece porque e^-r b tende a zero quando b tende ao infinito, já que a exponencial decai rapidamente.

Resposta

A integral imprópria integral0^+infty r cdot e^-r x , dx é igual a 1.

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