Investigar as integrais impróprias seguintes.
(g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é
onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração vão ao infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites e a técnica de integração de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, como o limite superior da integral é o infinito, vamos reescrever a integral como um limite quando
tende ao infinito:
Isso ajuda a transformar a integral imprópria em um problema de cálculo de limite.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
em relação a
. A integral de
é:
Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais, onde a integral de
é
.
Passo 4
Vamos agora aplicar os limites de integração de
a
:
Agora, calculamos o limite quando
vai para o infinito:
Isso acontece porque
tende a zero quando
tende ao infinito, já que a exponencial decai rapidamente.
Resposta
A integral imprópria
é igual a 1.