Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
  • . Considere e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é com a condição inicial . Vamos resolver isso de duas maneiras: analiticamente, ou seja, encontrando a solução exata, e numericamente, usando o Método de Euler com passo e realizando 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver analiticamente a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e para resolver vamos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação linear é . Aqui, e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante que é dado por . Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes, onde e . Calculando, obtemos:
Então,

Passo 6

Multiplicando e simplificando:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Calculando os valores:
Então,

Passo 8

Substituindo na solução geral:
Essa é a solução analítica da equação diferencial.

Passo 9

Agora, vamos resolver numericamente usando o Método de Euler com passo e . O Método de Euler é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais usando a fórmula:
onde .

Passo 10

Começamos com e . Agora, aplicamos a fórmula para cada passo até :
Continuamos esse processo até o décimo passo.

Resposta

A solução analítica da equação diferencial é:
E a solução numérica aproximada pelo Método de Euler após 10 iterações com passo é .
(Nota: Para obter o valor numérico exato de , é necessário realizar todos os 10 passos do Método de Euler, que não foram completamente calculados aqui.)

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(g)
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(g)