Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
-
. Considere
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é
com a condição inicial
. Vamos resolver isso de duas maneiras: analiticamente, ou seja, encontrando a solução exata, e numericamente, usando o Método de Euler com passo
e realizando 10 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver analiticamente a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e para resolver vamos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação linear é
. Aqui,
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
que é dado por
. Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes, onde
e
. Calculando, obtemos:
Então,
Passo 6
Multiplicando e simplificando:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Calculando os valores:
Então,
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Essa é a solução analítica da equação diferencial.
Passo 9
Agora, vamos resolver numericamente usando o Método de Euler com passo
e
. O Método de Euler é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais usando a fórmula:
onde
.
Passo 10
Começamos com
e
. Agora, aplicamos a fórmula para cada passo até
:
Continuamos esse processo até o décimo passo.
Resposta
A solução analítica da equação diferencial é:
E a solução numérica aproximada pelo Método de Euler após 10 iterações com passo
é
.
(Nota: Para obter o valor numérico exato de
, é necessário realizar todos os 10 passos do Método de Euler, que não foram completamente calculados aqui.)
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(g)
(g)
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(g)
(g)