Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
  • y^prime=5 x+7 y ; y(1)=2. Considere h=0,1 e n=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é com a condição inicial . Vamos resolver isso de duas maneiras: analiticamente, ou seja, encontrando a solução exata, e numericamente, usando o Método de Euler com passo e realizando 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver analiticamente a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e para resolver vamos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação linear é . Aqui, e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral -7 dx = e^-7x que é dado por . Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-7x y' - 7 e^-7x y = 5x e^-7x
Isso simplifica para:
ddx ( e^-7x y ) = 5x e^-7x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a e^-7x y = integral 5x e^-7x dx + C :
integral x e^-7x dx = -x7 e^-7x - 149 e^-7x + C
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes, onde e^-7x y = 5 ( -x7 e^-7x - 149 e^-7x ) + C e . Calculando, obtemos:
Então,

Passo 6

Multiplicando e simplificando:
e^-7x y = -5x7 e^-7x - 549 e^-7x + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por y = -5x7 - 549 + C e^7x para isolar :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 2 = -5(1)7 - 549 + C e^7(1) para encontrar a constante 2 = -57 - 549 + C e^7 :
2 + 57 + 549 = C e^7
2 + 0,7143 + 0,1020 approx 2,8163 = C e^7
C = 2,8163e^7 approx 2,81631096,633 approx 0,00257
Calculando os valores:
Então,

Passo 8

Substituindo y = -5x7 - 549 + 0,00257 e^7x na solução geral:
Essa é a solução analítica da equação diferencial.

Passo 9

Agora, vamos resolver numericamente usando o Método de Euler com passo yk+1 = yk + h f(xk, yk) e . O Método de Euler é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais usando a fórmula:
onde .

Passo 10

Começamos com y1 &= y0 + 0,1(5(1) + 7(2)) = 2 + 0,1(5 + 14) = 2 + 0,1(19) = 2 + 1,9 = 3,9 y2 &= 3,9 + 0,1(5(1,1) + 7(3,9)) = 3,9 + 0,1(5,5 + 27,3) = 3,9 + 0,1(32,8) = 3,9 + 3,28 = 7,18 e . Agora, aplicamos a fórmula para cada passo até :
Continuamos esse processo até o décimo passo.

Resposta

A solução analítica da equação diferencial é:
y = -5x7 - 549 + 0,00257 e^7x
E a solução numérica aproximada pelo Método de Euler após 10 iterações com passo é .
(Nota: Para obter o valor numérico exato de , é necessário realizar todos os 10 passos do Método de Euler, que não foram completamente calculados aqui.)

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