Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
© integral1^2 x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a derivada e a integral, e para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Basicamente, vamos decompor a integral em partes mais simples para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = ln x e dv = x , dx e . No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1x , dx e integrar v = integral x , dx = x^22 para encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do constante [ x^22 ln x - x^24 ]1^2 . Aplicamos os limites de 1 a 2:

Passo 7

Calculando para 2^22 ln 2 - 2^24 = 42 ln 2 - 44 = 2 ln 2 - 1 :
1^22 ln 1 - 1^24 = 12 cdot 0 - 14 = -14
E para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
(2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 1 + 14 = 2 ln 2 - 34

Resposta

O valor da integral definida é .

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