Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(g)
(g)
Passo 1
Aqui temos o exercício de calcular a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é ótima para integrar produtos de funções, especialmente quando uma das funções fica mais simples após a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos chamar de
e
para usar a fórmula de integração por partes, que é:
Passo 3
Escolhemos
porque, ao derivar, a potência diminui, simplificando a expressão. Assim,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
em relação a :
- Integrando
para encontrar :
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Agora, a integral
depende de outra integral semelhante,
. Vamos resolver
também usando integração por partes.
Passo 7
Escolhemos para
:
Então:
Passo 8
Aplicando integração por partes em
:
Passo 9
Agora, precisamos resolver
. Vamos fazer novamente integração por partes para
.
Passo 10
Escolhemos para
:
Então:
Passo 11
Aplicando integração por partes em
:
Passo 12
Voltando a
:
Passo 13
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Investigar as integrais impróprias seguintes.
(g)
(g)
Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
-
. Considere e .
Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
©
©
Investigar as integrais impróprias.
(a)
(a)