Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(g) I=integral ln ^3(2 x) d x

Passo 1

Aqui temos o exercício de calcular a integral indefinida usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é ótima para integrar produtos de funções, especialmente quando uma das funções fica mais simples após a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos chamar de integral u , dv = u , v - integral v , du e para usar a fórmula de integração por partes, que é:

Passo 3

Escolhemos porque, ao derivar, a potência diminui, simplificando a expressão. Assim, .

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx ln^3(2x) , dx = 3 ln^2(2x) cdot 22x , dx = 3 ln^2(2x)x , dx e v = integral dx = x :
  • Derivando em relação a :
  • Integrando para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
I = u cdot v - integral v , du = ln^3(2x) cdot x - integral x cdot 3 ln^2(2x)x , dx = x ln^3(2x) - 3 integral ln^2(2x) , dx

Passo 6

Agora, a integral depende de outra integral semelhante, . Vamos resolver também usando integração por partes.

Passo 7

Escolhemos para u = ln^2(2x) e dv = dx :
du = 2 ln(2x) cdot 22x , dx = 2 ln(2x)x , dx
Então:
v = x

Passo 8

Aplicando integração por partes em J = u cdot v - integral v , du = ln^2(2x) cdot x - integral x cdot 2 ln(2x)x , dx = x ln^2(2x) - 2 integral ln(2x) , dx :

Passo 9

Agora, precisamos resolver . Vamos fazer novamente integração por partes para .

Passo 10

Escolhemos para u = ln(2x) e dv = dx :
du = 22x , dx = 1x , dx
Então:
v = x

Passo 11

Aplicando integração por partes em K = u cdot v - integral v , du = ln(2x) cdot x - integral x cdot 1x , dx = x ln(2x) - integral 1 , dx = x ln(2x) - x + C :

Passo 12

Voltando a J = x ln^2(2x) - 2K = x ln^2(2x) - 2(x ln(2x) - x) = x ln^2(2x) - 2x ln(2x) + 2x :

Passo 13

Substituindo I = x ln^3(2x) - 3J = x ln^3(2x) - 3(x ln^2(2x) - 2x ln(2x) + 2x) = x ln^3(2x) - 3x ln^2(2x) + 6x ln(2x) - 6x na expressão de :

Resposta

A integral I = x ln^3(2x) - 3x ln^2(2x) + 6x ln(2x) - 6x + C é igual a:

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