Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(g)

Passo 1

Aqui temos o exercício de calcular a integral indefinida usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é ótima para integrar produtos de funções, especialmente quando uma das funções fica mais simples após a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos chamar de e para usar a fórmula de integração por partes, que é:

Passo 3

Escolhemos porque, ao derivar, a potência diminui, simplificando a expressão. Assim, .

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando em relação a :
  • Integrando para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 6

Agora, a integral depende de outra integral semelhante, . Vamos resolver também usando integração por partes.

Passo 7

Escolhemos para :
Então:

Passo 8

Aplicando integração por partes em :

Passo 9

Agora, precisamos resolver . Vamos fazer novamente integração por partes para .

Passo 10

Escolhemos para :
Então:

Passo 11

Aplicando integração por partes em :

Passo 12

Voltando a :

Passo 13

Substituindo na expressão de :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Investigar as integrais impróprias seguintes.
(g)
Resolva analiticamente e também numericamente, usando o método de Euler, o PVI a seguir:
  • . Considere e .
Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
©
Investigar as integrais impróprias.
(a)